Question

1) A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km.

(a) Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia?
(b) O que aconteceria com a proporção do item (a), se a garantia fosse para os primeiros 45.000 km?
(c) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus? (d). Se você comprar 4 pneus Rodabem, qual será a probabilidade de que você utilizará a garantia (45.000 km) para trocar um ou mais destes pneus?

Answer 1

Em uma distribuição normal resolvemos o problema utilizando-se sua variável reduzida z conjuntamente com uma tabela(anexa), onde poderemos buscar as probabilidades.

$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$

Onde:

• Média: $\mu=60\,000$
• Desvio-padrão: $\sigma=8\,300$

a)

$z=\dfrac{48\,000-60\,000}{8\,300}=\dfrac{-12\,000}{8\,300}\approx -1,45$

Queremos garantir que tenhamos no mínimo 48.000 km, então, a probabilidade de ser menor do que 48.000:

$P(x<48\,000)=P(z<-1,45)=0,5-P(-1,45<z<0)=0,5-P(0<z<1,45)=0,5-0,42647=0,07353=7,353\%$

b)

$z=\dfrac{45\,000-60\,000}{8\,300}=\dfrac{-15\,000}{8\,300}\approx -1,81$

Como nossa garantia vai agora até 45.000 km, então, a probabilidade de ser menor do que 45.000:

$P(x<45\,000)=P(z<-1,81)=0,5-P(-1,81<z<0)=0,5-P(0<z<1,81)=0,5-0,46485=0,03515=3,515\%$

c)

Como queremos trocar no máximo 2% dos pneus, devemos procurar:

$P(z<Z)=2\%\\P(z<Z)=0,5-P(0<z<Z)=0,5-P(-Z<z<0)\\0,02=0,5-P(-Z<z<0)\\P(-Z<z<0)=0,5-0,02=0,48\\Z=-2,05$

Então:

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\\-2,05=\dfrac{X-60\,000}{8\,300}\\X=60\,000-2,05\cdot 8\,300\\X=42\,985$

Então, garantia de 42985km ou 43000km, aproximadamente.

d)

A troca é de 3,515% para 45000km.

A probabilidade de trocar 1 ou mais:

$P(x\geqslant 1)=1-P(x=0)\\P(x\geqslant 1)=1-\binom{4}{0}(0,03515)^0\cdot(1-0,03515)^4\\P(x\geqslant 1)=1-0,96485^4\approx13,34\%$