Question

1. A derivada de uma função complexa é, de diversas formas, diferente da derivada de uma função real, desde sua interpretação até as suas condições de existência e diferenciabilidade. A fim de calcular a derivada de uma função de variável complexa dada, é necessário primeiro garantir que a função seja contínua e, em seguida, garantir as condições necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições suficientes (continuidade das partes real e imaginária) para, então, finalmente aplicar as regras de derivação. Aplicando conceitos referentes ao processo de derivação, obtenha a derivada da função complexa f(z)=3z 4. A. F'(z)=4. B. F'(z)=3. C. F'(z)=3x. D. F'(z)=0. E. F'(z)=-3

Answer 1

Resposta:

B.

f'(z)=3.

Explicação:

Para determinar a derivada da função dada, é necessário inicialmente verificar se a função é contínua em todo ponto onde sua derivada existe, ou seja, verificar se dado o limite para o qual o valor da função tente aproximando-se de um dado ponto corresponde à imagem desse ponto definida pela função. lim→0()=(0)lim→0()=lim→0(3+4)=30+4=(0)

Garantida a continuidade da função, lembre-se de que ()=(,)+(,), pois =+. Assim, devem-se analisar separadamente as partes reais e imaginárias da função para verificar se elas são contínuas e se atendem às condições de Cauchy-Riemann. ()=(+)=3(+)+4=(3+4)+3(,)=3+4 (,)=3

Como (,) e (,) são definidas por funções polinomiais, que são contínuas, resta agora verificar as condições de Cauchy-Riemann. = =−

1ª condição = (3+4) = (3) + (4) = 3+0=3 = (3)= 3=3

(3+4)

Esta é uma derivada de uma função polinomial, portanto é possível separá-la em suas partes constituintes.

(3) e (3)

Conforme as técnicas de derivação, tem-se aqui o produto por uma constante, que pode ser evidenciado. Observe que a constante é positiva, descartando ′()=−3.

(4)

Tem-se aqui a derivada de uma constante, que, segundo as técnicas de derivação, é 0, descartando ′()=4.

3

Evidenciada a constante, utilizam-se as técnicas de derivação da regra de potência, []=−1→1=10=1,descartando ′()=3.

3 ( )

Descarta ′()=0.

3

Evidenciada a constante, utilizam-se as técnicas de derivação da regra de potência, []=−1→1=10=1,descartando ′()=3.

2ª condição = (3+4) = (3) + (4) = 3+0=0 − = −(3)= −3=−0=0

(3+4)

Esta é uma derivada de uma função polinomial, portanto é possível separá-la em suas partes constituintes.

(3)

Conforme as técnicas de derivação, tem-se aqui o produto por uma constante, que pode ser evidenciado. Observe que a constante é positiva, descartando ′()=−3.

(4), 3, −(3),−3

Tem-se aqui a derivada de uma constante, que, segundo as técnicas de derivação, é 0, descartando ′()=4.

Atendidas ambas as condições, é possível escrever a derivada da função f(z) como: ′()= + ′()=3+0⏟ á é 0, − ú , ´()=3.=3