Question

1.7. Considera os números 981 e 252 .
a) Justifica que os números dados são divisíveis por 9.
b) Sem efetuares a divisão inteira, justifica que o resto da divisão inteira de 981 por 252
é divisível por 9​

Answer 1

Resposta:

a)

9 + 8 + 1 = 18 = 9x2

2 + 5 + 2 = 9 = 9x1

b)

R = 981 - Cx252

R = 9xP - Cx9Q

R = 9x(P - CxQ), que é divisível por 9.

Explicação passo-a-passo:

a) A soma dos algarismos, em ambos os casos, é divisível por 9, e isso é suficiente, pois:

981 = 900 + 80 + 1

     = 9x100 + 8x10 + 1

     = 9x(99 + 1) + 8x(9 + 1) + 1

     = 9x99 + 9x1 + 8x9 + 8x1 + 1

     = (9x99 + 8x9) + 9x1 + 8x1 + 1, obs.: sabe-se que (9x99+ 8x9) é divisível por 9, pois 99 e 9 são múltiplos de 9 (todo número composto apenas do algarismo 9 é divisível por 9), restando apenas determinar se (9 + 8 + 1) é divisível por 9, o que é, pois (9 + 8 + 1) = 18 = 9x2.

     = (9x99 + 8x9) + (9 + 8 + 1)

     = (9x99 + 8x9) + (18)

     = (9x99 + 8x9) + 9x(2), que é divisível por 9.

252 = 2x100 + 5x10 + 2

       = 2x(99 + 1) + 5x(9 + 1) + 2

       = 2x99 + 2x1 + 5x9 + 5x1 + 2

       = 2x99 + 5x9 + 2x1 + 5x1 + 2

       = (2x99 + 5x9) + 2x1 + 5x1 + 2, obs.: sabe-se que (2x99+ 5x9) é divisível por 9, pois aquele é múltiplo de 9, restando apenas determinar se (2 + 5 + 2) é divisível por 9, o que é, pois (2 + 5 + 2) = 9 = 9x1.

       = (2x99 + 5x9) + (2 + 5 + 2)

       = (2x99 + 5x9) + 9x1

       = (2x99 + 5x9) + 9x1, que é divisível por 9

b) Seja C o resultado da divisão inteira de 981 por 252, e R o resto da divisão, podemos escrever:

981 = Cx252 + R, ou seja,

R = 981 - Cx252

Se 981 e 252 são divisíveis por 9, então 981 = 9xP e 252 = 9xQ, onde P = 981÷9 e Q = 252÷9.

R = 9xP - Cx9Q

Colocando 9 em evidência

R = 9x(P - CxQ), ou seja, R é divisível por 9.