Question

1.4. Seja ∭ᴅ f(x,y,z)dV em que D é um sólido (domínio de integração). Classifique as afirmações a seguir em verdadeiro ou falso e assinale a alternativa correta.



Somente a afirmação (I) está correta.
Somente a afirmação (II) está correta.
Somente a afirmação (III) está correta.
Somente as afirmações (I) e (III) estão corretas.
Todas as afirmações estão corretas.

Answer 1

Resposta:

Todas as afirmações estão corretas.

Explicação passo a passo:

(I) Quando f(x,y,z) = 1, a integral pode calcular o volume do sólido D, observando que os limites de integração em cada uma das 3 integrais devem ser crescentes. Exemplo:

$\int\limits^{x=1}_{x=0} \int\limits^{y=1}_{y=0}\int\limits^{z=1}_{z=0} \, dx = (1-0)*(1-0)*(1-0) = 1$

Neste caso é calculado o volume de um cubo de lados de tamanho 1.

No entanto, se invertermos o limite de integração em x:

$\int\limits^{x=0}_{x=1} \int\limits^{y=1}_{y=0}\int\limits^{z=1}_{z=0} \, dx = (0-1)*(1-0)*(1-0) = -1$

(II) Novamente usando o exemplo ao final do item (I), a integral ∭ᴅ f(x,y,z)dV pode resultar em um valor negativo por exemplo no caso em que f(x,y,z) = 1 e os limites da integral sobre x são decrescentes. Outra possibilidade é se f(x,y,z) = -1 com os limites das integrais todos crescentes.

(III) Se f(x,y,z) = densidade do sólido no ponto (x,y,z), a integral tripla pode calcular a massa do sólido, novamente contanto que os limites das 3 integrais sejam crescentes. Isso pode ser verificado porque a massa de um elemento infinitesimal de volume é igual a densidade(x,y,z)*dV = f(x,y,z)*dV.