Question

(-1, -4, -16, ..) razao n= 7 e a soma dos 7 termos

Answer 1

Esta sequência é uma Progressão Geométrica, uma vez que, cada termo, a partir do segundo, é obtido pelo produto do antecessor por 4. De fato,

- 4 = - 1 x 4

- 16 = - 4 x 4

etc.

Logo, a razão da progressão é q = 4.

O primeiro termo da progressão, a1, vale - 1. a1 = - 1

A sequência tem 7 termos, e sabendo-se que a soma dos n primeiros termos de uma P.G. com razão diferente de 1 é dada por $S_{n} = \frac{a1 \cdot (q^{n} - 1)}{q - 1}$, calculemos a soma de seus 7 termos:

$S_{7} = \frac{(-1)(4^{7} - 1)}{4 - 1} = \frac{(-1)(16384 - 1)}{3} \Rightarrow S_{7} = \textbf{- 5461}$

Obs.: a equação para o cálculo da soma dos n primeiros termos duma P.G. com q diferente de 1 (caso q fosse igual a 1, o denominador seria nulo, o que não pode ocorrer) não ''veio do nada''! Como complemento, apresenta-se uma demonstração da mesma:

Considere a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão q.

A soma de seus n primeiros (veja que a sequência pode ter mais de n termos - e isso geralmente ocorre -, mas só iremos calcular seus n primeiros) é dada por

(I)  $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}$

Multiplicando a equação anterior por q em ambos os membros, obtemos:

(II) $q \cdot S_{n} = a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} \cdot q$

Agora, vamos subtrair (I) de (II), ou seja: Sn q - Sn = a2 + a3 + ... + q an - a1 + a2 + a3 + ... + an. Veja que todos os termos em negrito anular-se-ão. Assim, ficamos com:

$q \cdot S_{n} - S_{n} = q \cdot a_{n} - a_{1}$

Podemos colocar Sn em evidência (Sn (q - 1)) e an é dado por a1 · q^(n-1) (lembre do termo geral duma P.G.). Finalmente, teremos:

$q \cdot S_{n} - S_{n} = q \cdot (a_{1} \cdot q^{n-1}) - a_{1} = a_{1} \cdot q^{n} - a1 \Rightarrow S_{n} \cdot (q-1) = a_{1} \cdot (q^n-1) \Rightarrow S_{n} = \frac{a1\cdot(q^n-1)}{q-1} \ \blacksquare$