Question

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+ Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a várias Variáveis →
Como você escreveria uma integral dupla para calcular a massa da lâmina triangular definida pelas retas y = 3x + 2; y = 2 e 4y + 3x = 23
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Answer 1

Utilizando integral de pedaços separadamente para calcular a área do triangula e sabendo a área desta lamina triangular, basta multiplicar ela pela sua densidade α, ficando a massa total de 35α/2.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos isolar 'y' nas nossas equações para ficar mais simples trabalhar com eles:

$y=3x+2$

$y=2$

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}$

E podemos ver no gráfico em anexo, mas também é facil concluir, que "y=2" é a reta da base, pois ela é horizontal, e o valor dela sempre é 2, enquanto as outras retas claramente assumem valores maiores que 2 para x positivo, ou seja, elas estão acima de "y=2".

Agora vamos encontrar os pontos de interseção da reta, para isso, basta igualarmos 'y' com 'y' em cada reta:

"y=3x+2" intersecta "y=2" em:

$2=3x+2 \quad \rightarrow \quad x = 0$

"y=3x+2" intersecta "y=-3x/4 + 23/3" em:

$-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}=3x+2$

$-3x+23=12x+8$

$12x+3x=23-8$

$15x=15$

$x = 1$

"y=-3x/4 + 23/3" intersecta "y=2" em:

$-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}=2$

$-3x+23=8$

$3x=23-8$

$3x=15$

$x=5$

Com isso podemos concluir que, esta área é definida por: de x = 0 até x = 1, a base dela é "y=2" e limite superior é "y=3x+2", de x = 1 até x = 5 a base dela é "y=2" e o limite superior é "y=-3x/4 + 23/3".

Ou seja, podemos escrever esta área como uma integral dividida em duas partes:

$A=\int_{0}^{1}3x+2\, dx + \int_{1}^{5}-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4} \, dx$

E esta integral polinomial é simples de se resolver, então vamos a esta:

$A=\int_{0}^{1}3x+2\, dx + \int_{1}^{5}-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4} \, dx$

$A=\left( \frac{3}{2}x^2+2x \right)_{0}^{1} + \left( -\frac{3}{8}x^2+\frac{23}{4}x  \right)_{1}^{5}$

$A=\left( \frac{3}{2}+2 \right) + \left( -\frac{3}{8}5^2+\frac{23}{4}.5 +\frac{3}{8}-\frac{23}{4}  \right)$

$A=\frac{7}{2} + \left( -\frac{75}{8}+\frac{115}{4} +\frac{3}{8}-\frac{23}{4}  \right)$

$A=\frac{28}{8} -\frac{75}{8}+\frac{230}{8} +\frac{3}{8}-\frac{46}{8}$

$A=\frac{28 - 75 + 230 + 3 - 46}{8}$

$A=\frac{140}{8}$

$A=\frac{35}{2}$

E sabendo a área desta lamina triangular, basta multiplicar ela pela sua densidade α, ficando a massa total de 35α/2.