1-3-6-10-15 seja a1 o número de pessoas que ocupa a primeira posição neste sequência, a2 o número de pessoas que ocupa a segunda posição, assim por diante. então a exposição que permite calcular an é?
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Amaury, que a resolução não é das mais simples, pois vamos ter uma PA de segunda ordem.
i) Tem-se a seguinte sequência, que é uma PA de segunda ordem:
(1; 3; 6; 10; 15; ......)
ii) Veja porque dizemos que ela é de segunda ordem: note que a diferença entre cada termo é esta: (3-1 = 2; 6-3 = 3; 10-6 = 4; 15-10 = 5), ou seja, é de 2ª ordem porque encontramos outra PA (agora de 1ª ordem) constituída pelas diferenças encontradas, veja: (2; 3; 4; 5; ....) <-- Note que esta é uma PA de 1ª ordem porque tem uma razão constante e igual a "1", pois a diferença entre cada termo é de "1' unidade.
iii) Quando temos uma PA de 2ª ordem, para encontrar qual é seu termo geral, tem-se que utilizar a seguinte fórmula:
a ̪ = a₁ (da primeira sequência) + S ̪ ₋₁ (da segunda sequência) <-- esta é a resposta. Ou seja, esta é a fórmula do termo geral de uma PA de segunda ordem.
Na fórmula acima temos que o termo geral de uma PA de segunda ordem é dado assim: toma-se o primeiro termo da primeira sequência (no caso da sequência:1; 3; 6; 10; 15; ....) e a soma dos "n-1" termos da segunda sequência (no caso da sequência: 2; 3; 4; 5; 6; 7; .....).
iv) Vamos mostrar que isto é verdade. Digamos que tivéssemos a seguinte questão: qual é o 6º termo da sequência da sua questão [1; 3; 6; 10; 15; ...]. Estamos colocando o 6º termo para poder ficar bem fácil de demonstrar. Evidentemente que você já até mesmo encontrar que o 6º termo seria o "21", pois dá pra ver que a sequência (1; 3; 6; 10; 15;..... cada termo seguinte sempre é obtido por uma unidade a mais que a última diferença, pois: 1+2 = 3; 3+3 = 6; 6+4 = 10; 10+5 + 15; logo o 6º termo seria: 15+6 = 21, concorda?.
Então já vimos que o primeiro termo da 1ª sequência é o termo "1" (que será o nosso a₁ da primeira sequência). Agora se você for na segunda sequência (2; 3; 4; 5; 6; 7; ....) vamos ter que encontrar a soma dos "6-1" termos , ou seja dos 5 primeiros termos. Assim, a soma dos 5 primeiros termos será: 2+3+4+5+6 = 20. Então como já vimos que a soma dos "6-1" termos da segunda sequência dá igual a "20", então vamos para o termo geral, que é esta:
a ̪ = a₁ (da primeira sequência) + S ̪ ₋₁ (da segunda sequência)
Na fórmula acima substituiremos "a ̪ " por a₆ , pois estamos querendo saber qual é o 6º termo da sequência dada [1; 3; 6; 10; 15; ....]. Substituiremos a₁ por "1", que é o primeiro termo da primeira sequência. Por sua vez, substituiremos "S ̪ ₋₁" por "20", que é a soma dos "6-1 termos = 5 termos" da segunda sequência. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a₆ = 1 + 20
a₆ = 21 <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como o 6º termo da primeira sequência é realmente igual a "21".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.