Question

1. [2,5 pontos] Resolva a inequação LaTeX: \textstyle sen^2 x \geqslant \frac{1}{4}sen2x⩾14 com LaTeX: 0 \leqslant x \leqslant 2\pi0⩽x⩽2π. (sugestão: faça LaTeX: t = sen xt=senx e resolva LaTeX: \textstyle t^2 \geqslant \frac{1}{4}t2⩾14) 2. [2,5 pontos] Resolva a equação LaTeX: 2\cos^2x - sen x - 1 = 02cos2x−senx−1=0 no intervalo LaTeX: 0 \leqslant x \leqslant 2\pi0⩽x⩽2π 3. [2,5 pontos] Calcule o valor da soma LaTeX: \textstyle \sum_{n = 1}^{20.241} i^{n}∑n=120.241in, lembrando que LaTeX: i^2 = -1i2=−1 4. [2,5 pontos] a) [0,5 pontos] Obtenha o módulo e o argumento do número complexo LaTeX: z = -1 - iz=−1−i b) [1,0 pontos] Escreva a forma trigonométrica de LaTeX: zz c) [1,0 pontos] Obtenha LaTeX: z^{12}z12.

Answer 1

QUESTÃO 1
Utilizando a sugestão dada no enunciado, se substituirmos sen x por t, podemos resolver uma equação quadrática, que é mais fácil que a trigonométrica.

$sen x = t \\ \\ t^2 \geq \dfrac{1}{4} \\ \\ t \geq \sqrt{ \dfrac{1}{4} } \\ \\ t \geq \dfrac{1}{2}$

Portanto, sen x deve ser maior ou igual a 1/2:
sen x ≥ 1/2

Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x:
$x = sen^{-1} ( \dfrac{1}{2} )$

O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, pela tabela trigonométrica. Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6.

QUESTÃO 2
Pela relação trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos que:
cos²(x) = 1 - sen²(x)

Substituindo na equação:
2(1-sen²(x)) - sen(x) - 1 = 0
2 - 2sen²(x) - sen(x) -1 = 0

Fazendo sen x = y, temos:
2 - 2y² - y - 1 = 0
-2y² - y + 1 = 0

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos que:
y' = 1/2
y'' = -1

Para y = 1/2 e pela tabela trigonométrica de ângulos notáveis, temos:
sen(x) = 1/2
x = π/6
x = 5π/6

Para y = -1:
sen(x) = -1
x = 3π/2


QUESTÃO 3
Temos a soma de 20,241 que multiplica i elevado a n, com isso, o valor da soma depende exclusivamente de i^n. Vamos ver o que acontece com as potências de i:

$i^0 = 1 \\ i^1 = i = \sqrt{-1} \\ i^2 = -1 \\ i^3 = i^2*i = -1*i = -i \\ i^4 = i^2*i^2 = (-1) * (-1) = 1 \\ i^5 = i^4 * i = 1 * i = i$

Perceba que para as potências de i^0 a i^3, temos valores distintos, e que este se repetem a partir de i^4.

Na soma, como n começa em 1, temos que para n = 1:
20,241 * i = 20,241i

Para n = 2:
20,241 * i^2 = -20,241

Para n = 3:
20,241 * i^3 = -20,241i

Para n = 4:
20,241 * i^4 = 20,241

Perceba que somando os valores para n = 1 e n = 3, o resultado é 0 e somando os valores para n = 2 e n = 4, o resultado também é 0. Como estes valores se repetem infinitamente (soma de n = 5 e n = 7, n = 6 e n = 8, e assim por diante), podemos concluir que a soma é igual a 0.


QUESTÃO 4

Letra A
Um número complexo pode ser representado num sistemas de coordenadas cartesianas, onde a parte real corresponde ao eixo x (eixo real) e a parte imaginária corresponde ao eixo y (eixo imaginário).

Desta forma, um número complexo z = a + bi forma um triângulo retângulo de catetos a e b, e hipotenusa igual ao módulo de z (|z|).

O argumento do número z é o arco formado entre o eixo horizontal positivo e o módulo de z.

Desta forma, temos:
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$

Como a = -1 e b = -1:
$|z| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \\ \\ |z| = \sqrt{2}$

Pela relação trigonométrica $cos(\Theta) = \dfrac{a}{|z|}$, temos:
$cos(\Theta) = \dfrac{-1}{ \sqrt{2} } = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

O ângulo cujo cosseno é igual a -√2/2 é 135º. Como z está no terceiro quadrante, temos que subtrair este ângulo de 360º. Então o argumento de z é 225º.

Portanto:
|z| = √2
arg(z) = 225º

Letra B
A forma trigonométrica, ou polar, é dada pela fórmula:
$z = p(cos \theta + isen \theta)$

onde p é o módulo de z e θ é o argumento de z.

Portanto, para z = -1 - i, temos:
z = √2 (cos(225) + isen(225))

Letra C
Podemos reescrever o expoente 12, como um produto de 2 e 6:
$z = (-1 - i)^{12} = [(-1 -i)^{2}]^6$

Temos que (-1 -i)² = -1² + 2i  +i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Então, podemos escrever:
$z = (2i)^6 = 2^6 * i^6$

Como sabemos, i^6 é corresponde a i^2 = -1. Então:
$z = (2i)^6 = 64*(-1) = -64$