Question

1) (2,5 Pontos) Resolva a equação LaTeX: x^3-4x^2-11x+30=0x3−4x2−11x+30=0 sabendo que LaTeX: x=-3x=−3 é uma raiz da equação.
2) (2,5 Pontos) Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:
LaTeX: P(x)=2x^4-3x^3+3x^2-x+4P(x)=2x4−3x3+3x2−x+4 por LaTeX: Q(x)=x^2+1Q(x)=x2+1
3) (2,5 Pontos) Determine a matriz inversa de LaTeX: A
=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 &0
\end{bmatrix}
4) (2,5 Pontos) Determine os valores de LaTeX: \mu \in \mathbb{R}μ∈ℝ para os quais LaTeX: \text{det}(A -\mu I) = 0det(A−μI)=0 sendo LaTeX: A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} e LaTeX: I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} a matriz identidade.

Answer 1

Vamos lá.

Durval, só estão claras as escritas da primeira e da segunda questão. Então vamos resolver somente essas duas, pois questões "3" e "4" não estão legíveis e não fica bem darmos uma resposta de uma questão que não tenhamos clareza sobre sua escrita. Nessas ocasiões não vale aquela de "se for assim", então a resposta é esta; "se for assado", então a resposta é aquela. E se não forem nenhuma das duas? É por isso que só resolveremos as questões que estão com suas escritas claras, ok?
Então vamos a elas.

1ª questão: Resolva a equação abaixo, sabendo-se que uma das suas raízes é x = -3:

x³ - 4x² - 11x + 30 = 0

Veja: se "-3" é uma raiz, então a equação acima será divisível por x-(-3)) = x+3. Então vamos efetuar a divisão pelo método tradicional, que é este:

x³ - 4x² - 11x + 30 |_x+3_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . x² - 7x + 10 <--- quociente.
-x³-3x²
------------------------
0-7x² - 11x + 30
.+7x²+21x
--------------------------
....0 +10x + 30
.......- 10x - 30
---------------------------
...........0......0 <--- Resto. Note que o resto teria que ser zero mesmo, pois estamos dividindo uma equação por uma de suas raízes. E toda equação é divisível (ou seja: deixa resto zero) por suas raízes.

Agora, para encontrar as outras raízes, vamos no quociente encontrado e vamos encontrar as outras raízes. O quociente encontrado foi este, que vamos igualá-lo a zero para encontrar as outras duas raízes da expressão inicialmente dada:

x² - 7x + 10 = 0 --- note que se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x'' = 2
x''' = 5

Assim, as três raízes da equação originalmente dada [x³-4x²-11x+30 = 0] são estas:

x' = - 3; x'' = 2; e x''' = 5 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''; x'''} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-3; 2; 5}.

2ª questão: Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:

P(x) = 2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 por Q(x) = x² + 1 ---- efetuando a divisão pelo método tradicional, teremos:

2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 |_x²+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . .  2x² - 3x + 1 <--- quociente
-2x⁴ ......- 2x²
---------------------------
.0 - 3x³ + x² - x + 4
...+ 3x³ ......+ 3x
-----------------------------
.......0 + x² + 2x + 4
..........- x²..........- 1
------------------------------
............0 + 2x + 3 <---- Resto.

Como visto acima, veja que encontramos o quociente e o resto e que são:

quociente: 2x² - 3x + 1; e resto: 2x + 3 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.

Note que numa divisão, o dividendo (D) é igual ao divisor (d)  vezes o quociente (q) mais o Resto (R), ou seja:

D = d*q + R ---- no caso específico da sua questão, teremos isto:

2x⁴ - 3x³ + 3x² - x + 4 = (x²+1)*(2x² - 3x + 1) + 2x + 3 ----- se você tiver paciência e efetuar o produto indicado acima de divisor*quociente e depois somar com o resto, vai notar que obterá exatamente o dividendo (2x⁴-3x³+3x²-x+4).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.