Question

1 - 1. Determine o 5º termo no desenvolvimento de:

Answer 1

Oii!

- > Eu escrevi a resposta completa, com exemplo etc; mas a resposta final é 70x⁴. (LETRA C)

Podemos usar dois métodos: Ou o binômio de Newton, ou o Triângulo de Pascal. Por ser optativo, escolhi o Triângulo de Pascal por ser mais visível.

Desenvolvendo o Triângulo de Pascal até a 8ª linha:

             1

           1 2 1

          1 3 3 1

         1 4 6 4 1

      1 5 10 10 5 1

    1 6 15 20 15 6 1

  1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Antes de desenvolver (x + 1)⁸, vou explicar como usar o Triângulo de Pascal:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Observe que (x + 2) está elevado a dois; se utilizássemos o Triângulo de Pascal para desenvolvê-lo, teríamos de observar a segunda linha = 1 2 1

Além disso, seguiríamos a seguinte sequência: o primeiro termo elevado a 2, o segundo elevado a 0:

x²y⁰

+ o primeiro elevado a 1, e o segundo elevado a 1:

x¹y¹

+ o primeiro elevado a 0, e o segundo a 2:

x⁰y²

Ficaria:

x² + xy + y²

Voltando ao Triângulo, a segunda linha apresenta = 1 2 1

Basicamente, multiplicaremos, respectivamente, os termos por 1, 2 e 1:

1.x² + 2.xy + 1.y² = x² + 2xy + y²

Então, recaptulando:

• O primeiro termo é elevado de n até 0, na ordem decrescente;
• O segundo termo é elevado de 0 até n, na ordem crescente;
• Depois, observa-se a linha n do Triângulo de Pascal e multiplica-se cada termo, respectivamente, pelos números apresentados.

Voltemos para (x + 1)⁸: Na oitava linha do Triângulo = 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Elevando os x e 1:

x⁸.1⁰ + x⁷.1¹ + x⁶.1² + x⁵.1³ + x⁴.1⁴ + x³.1⁵ + x².1⁶ + x¹.1⁷ + x⁰.1⁸

Por fim, multiplicando pela oitava linha:

1x⁸.1⁰ + 8x⁷.1¹ + 28x⁶.1² + 56x⁵.1³ + 70x⁴.1⁴ + 56x³.1⁵ + 28x².1⁶ + 8x¹.1⁷ + 1x⁰.1⁸

= x⁸ + 8x⁷ + 28x⁶ + 56x⁵ + 70x⁴ + 56x³ + 28x² + 8x + 1

Portanto, o 5º termo é 70x⁴ . (LETRA C)