Question

(1,0 ponto)Qual o valor de β, para que os vetores sejam ortogonais u ⃗=βi ⃗+2j ⃗-4k ⃗ e v ⃗=2i ⃗+(1-2β) j ⃗+3k ⃗.

Answer 1

Olá

Resposta: β = -5

$\vec{u}=\mathsf{(\beta,~2, ~-4)}\\\vec{v}=\mathsf{(2, ~(1-2\beta),~3)}$

Para que 2 vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles tem que ser zero.
Então, para encontrar o valor de β, basta calcular o produto escalar entre 'u' e 'v', e igualar a zero.

$\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=0\\\\\mathsf{(\beta,~2, ~-4)}\cdot (2, ~(1-2\beta),~3)=0}\\\\\mathsf{(2\cdot \beta)~+~ 2\cdot(1-2\beta)~+~(-4\cdot 3))=0}\\\\\mathsf{(2\beta~+~2~-~4\beta~-~12)=0}\\\\\mathsf{-2\beta -10=0}\\\\\mathsf{-2\beta= 10}\\\\\mathsf{\beta = \frac{10}{-2} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\beta=-5}}$


Comprovando

$\displaystyle \mathsf{(\beta,~2, ~-4)}\cdot (2, ~(1-2\beta),~3)=0}\\\\\mathsf{(-5,~2, ~-4)}\cdot (2, ~(1-2(-5)),~3)=0}\\\\\mathsf{(-5,2,-4)\cdot (2,11,3)=0}\\\\\mathsf{-5\cdot 2~+~2\cdot 11~+~(-4\cdot3)=0}\\\\\mathsf{-10+22-12=0}\\\\\mathsf{\boxed{0=0}\quad \checkmark}$