Question

07. Encontre a soma de todos os múltiplos de 3 entre 5 e 200

Answer 1

Resposta:

A soma de todos os múltiplos de 3 entre 5 e 200 é $6528$.

Explicação passo a passo:

Os múltiplos de 3 podem ser descritos da forma $3n$, sendo que $n$ é qualquer número natural, ou seja, $1,2,3,4,5...$

O menor número múltiplo de 3 da sequência sugerida é o número 6; e ele pode ser escrito assim, segundo a notação que eu descrevi:

$6=3(2)$ , ou seja, neste caso o $n$ vale 2.

O maior número múltiplo de 3 da sequência sugerida é o número 198; e ele pode ser escrito assim, segundo a notação que eu descrevi:

$198=3(66)$ , ou seja, neste caso o $n$ vale 66.

Sabendo destas informações podemos começar a somar os múltiplos de 3 entre 5 e 200:

$6+9+12+...+198=3(2)+3(3)+3(4)+...+3(66)$
Sabemos que quando temos uma soma de várias multiplicações com o mesmo fator (neste caso o número 3) podemos aglutinar os fatores semelhantes e somar os demais, assim:
$3(2)+3(3)+3(4)+...+3(66)=3 \cdot [(2)+(3)+(4)+...+(66)]$

Agora nossa conta ficou mais fácil; mas ainda podemos deixá-la mais fácil ainda. Veja:

• Se pegarmos o maior número desta sequência (66) e somarmos ao menor número da sequência (2) teremos como resultado 68.
• Se pegarmos o segundo maior número desta sequência (65) e somarmos ao segundo menor número da sequência (3) teremos como resultado 68.
• Se continuarmos fazendo estas somas perceberemos que sempre dará 68.

$(2)+(3)+(4)+...+(66)\\+\\\\ [(66)+(65)+(64)+...+(2)]=\\\\[(68)+(68)+(68)+...+(68)]$

$[(68)+(68)+(68)+...+(68)]=(68) \cdot 64$

Como sabemos que há 64 números nesta sequência (66-2), podemos dizer que a soma $[(2)+(3)+(4)+...+(66)]$ será: $[(68)+(68)+(68)+...+(68)]=[(68)] \cdot 64$

Porém somamos todos os números duas vezes. Sendo assim, temos que dividir esta expressão por 2.

$\frac{[(68)] \cdot 64}{2}$

Voltando do início:
$3 \cdot [(2)+(3)+(4)+...+(66)]=3 \cdot (\frac{[(68)] \cdot 64}{2})=6528$