06. Um relógio de pêndulo feito de Invar (α = 0,7.10-6 °C-1) tem um período de 0,5 s e é exato a 20°C. Se o relógio é usado num clima onde a temperatura é 30°C, que correção (aproximadamente) é necessário ao final de 30 dias para colocar o relógio novamente na hora certa?
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Primeiro vamos calcular a dilatação linear do pêndulo:
ΔL = L0 · α · ΔT
• ΔL: dilatação linear
• L0: comprimento inicial
• α: coeficiente de dilatação linear
• ΔT: variação da temperatura em graus Celsius
Logo, temos que:
ΔL = L0 · 0,7 · 10^-6 · (30 − 20)
ΔL = L0 · 0,7 · 10^-6 · 10
ΔL = L0 · 7 · 10^-6
Sabemos que:
Lf = L0 + ΔL
Substituindo ΔL, vem:
Lf = L0 + L0 · 7 · 10^-6
Lf = L0 · ( 1 + 7 · 10^-6)
__________
Agora, vamos ver como essa mudança irá influenciar na marcação do tempo. Para o período de uma oscilação, temos:
T = 2π · √(L / g)
• T: período de uma oscilação completa
• L: comprimento do pêndulo
• g: gravidade
Portanto, na situação inicial, temos:
0,5 = 2π · √(L0 / g)
Observe que se multiplicarmos os dois lados da equação por √(1 + 7 · 10^-6), vem:
0,5 · √(1 + 7 · 10^-6) = 2π · √(L0 · (1+ 7 · 10^-6) / g)
0,5 · √(1 + 7 · 10^-6) = 2π · √Lf / g)
O novo período de oscilação do pêndulo o valor que se encontra do lado esquerdo da igualdade
Tf = 0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)
Tf = 0,50000175 s
A cada duas oscilações completas o relógio marca um segundo. Para o relógio estar regulado o tempo das duas oscilações deve ser de um segundo também. Nessa situação temos que o tempo de duas oscilações é de:
2Tf = 2 · 0,50000175
2Tf = 1,0000035 s
2Tf = (1 + 0,0000035)
2Tf = (1 + 0,0000035)
2Tf = (1 + 3,5 · 10^-6) s
Note que a cada segundo que se passa o relógio demora 3,5 · 10^-6 s a mais, ficando assim atrasado.
Em 30 dias temos em segundos:
30 · 24 · 60 · 60 = 2592000 s
Logo o atraso do relógio será de:
3,5 · 10^-6 · 2592000 = 9,072 s
Resposta: terá que adiantar aproximadamente 9 segundos.
Bons estudos! =)
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