Question

06 - Determinar o módulo do vetor soma entre dois vetores, cujos os módulos valem a =22cm e b = 16cm nas seguintes condições: a) mesma direção e sentido: b) mesma direção e sentido contrário; c) Estão perpendiculares entre si. d) Formam entre si um ângulo de 120°. Cos de 120º = -1/2​

Answer 1

Olá, espero que esteja tudo bem!

a) Se os dois vetores têm mesma direção e sentido, o vetor soma tem módulo igual à soma desses dois vetores. Imagine você andando. Se você anda reto pra frente 22 cm e depois mais 16 cm também para frente, seu deslocamento será a soma desses valores. Assim, vale:

$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec a| + |\vec b|\\ \\ |\vec a + \vec b| = 22 + 16\\ \\ \boxed{|\vec a + \vec b|=38~\mathsf{cm}}$

b) Agora em sentido contrário, o raciocínio é o mesmo. Se anda para frente 22 cm e depois 16 cm para trás(mesma direção, mas sentido oposto), seu deslocamento em relação a onde estava será a diferença desses valores.

$|\vec a + \vec b| = | |\vec a| - |\vec b||$

(Coloquei dois módulos para tirar o sinal caso resulte em valor negativo, ocmo 16 - 22. O importante é que módulo sempre tem valor positivo, por isso isso é necessário)

$|\vec a + \vec b| = 22 - 16\\ \\ \boxed{|\vec a + \vec b| = 6~\mathsf{cm}}$

c) Se você anda num papel quadriculado 22 cm para direita, por exemplo, e depois 16 cm para cima, o deslocamento(vetor que vai de onde partiu até onde chegou, é a soma vetorial dos deslocamentos) vai ser a hipotenusa do triângulo formado pelos deslocamentos de 22 e 16 cm, então basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras para calcular seu valor.

$|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2+|\vec b|^2\\ \\ |\vec a + \vec b|^2= 22^2 + 16^2\\\\ |\vec a + \vec b|^2 = 740\\ \\ |\vec a + \vec b| = \sqrt{740} ~\mathsf{cm}\approx27,20~\mathsf{cm}$

d) Nesse caso, temos duas opções. A primeira seria decompor os vetores em suas componentes cartesians(versores i e j) e depois calcular a magnitude(mesma coisa que módulo) com Teorema de Pitágoras.

A outra forma é usar a Lei dos Cossenos, mas aqui na física temos que tomar um cuidado. Se só aplicarmos ela como na matemática($\texttt{Mat.:} a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\theta)$), estaremos cometendo um erro!  A forma matemática supõe que temos dois lados e queremos o terceiro  de um triângulo a partir do ângulo entre eles, mas não é isso que queremos na soma de vetores. Veja que se usarmos A, B e o ângulo deles, não teríamos o lado que queremos, estaríamos calculando a diagonal errada! O que queremos é o lado que é formado por A, B e (180° - θ). Para ajudar a entender, eu fiz um desenho e anexei aqui. Foi usada a regra do paralelogramo, então os lados tracejados tem mesmo valor que os vetores A e B. Portanto, o ângulo usado na lei dos cossenos é $\cos(180-\theta)= -\cos(\theta)$, que quando em contato com aquele sinal de menos da própria lei, nos resulta em:

$a^2=b^2+c^2+2bc\cdot \cos(\theta)~~~~ (\mathtt{Usado~na~f\acute{i}sica!})$

Onde theta é o ângulo entre os vetores. Entendo que escrevi muito, mas é imortante entender que as leis dos cossenos não são diferentes, é que a da física está interessada em outra diagonal, e da construção geométrica chegamos no sinal '+'. O que precisa é entender a diferença entre elas.

Resolvendo, finalmente:

$|\vec a + \vec b|^2= |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cdot \cos(\theta)\\ \\ |\vec a + \vec b|^2=22^2+16^2+2(22)(16)\cos(120^\circ )\\ \\ |\vec a + \vec b|^2 = 484+256+704(-\frac{1}{2})\\ \\ |\vec a + \vec b|^2 = 388\\ \\ \boxed{|\vec a + \vec b|=\sqrt{388}\approx19,70~\mathsf{cm}}$