Question

05-Se A=ly|^2-5lyl+ 6, a afirmativa CORRETA é: A) A se anula somente para quatro valores de Y. B) A possui apenas um ponto de mínimo.

C) A se anula somente para dois valores de Y.

D) A não é uma função par.

Answer 1

Resposta:

C) A se anula somente para dois valores de Y.

A=ly|² -5lyl+ 6

ly|² -5lyl+ 6 = 0 ; |y| = x

x² -5x +6 = 0 ; a = 1 ; b = -5 ; c = 6

Δ = b² -4ac

Δ = (-5)² -4.1.6

Δ = 25 - 24

Δ = 1

x = (- b ± √Δ) /2a

x = (- (-5) ± √1) /2.1

x = (5 ± 1) /2

x1 = (5 + 1) /2 = 6/2 = 3

x2 = (5 - 1) /2 = 4/2 = 2

Explicação passo a passo:

Se y ≥ 2                          Se |y| ≥ 3

ly|²-5lyl+ 6 ≥ 0                ly|²-5lyl+ 6 ≥ 0

2² -5.2 +6 ≥ 0                 3² -5.3 +6 ≥ 0

4 -10 +6 ≥ 0                     9 -15 +6 ≥ 0

10 -10 ≥ 0                         15 - 15 ≥ 0

Se |y| < 2

ly|²-5lyl+ 6 < 0

1² -5.1 +6 < 0

1 -5 +6 < 0

-4 +6 < 0

2 < 0 (Falso)

Answer 2

Resposta:

Afirmação A.

Explicação passo a passo:

Seja a função $A(y)$ assim definida:

$A(y) = \left| y\right|^2 -5\left| y \right| +6.$

Como $\left| y \right|^2 = y^2, \forall \,y \in \mathbb{R},$ temos:

$A(y) = y^2 -5\left| y \right| +6.$

Temos, assim, dois casos a considerar.

• 1º caso: $y \geq 0.$

Neste caso, temos:

$A(y) = y^2 -5y +6.$

• 2º caso: $y < 0.$

Neste caso, temos:

$A(y) = y^2 +5y +6.$

Assim, a função $A(y)$ é definida por duas sentenças abertas, a saber:

$A(y) = \left\{^{y^2 - 5y + 6\,\,\,se\,\, y\geq 0;}_{y^2 + 5y + 6\,\,\,se\,\,y < 0.}$

Analisemos cada uma das afirmações dadas.

A) A se anula somente para quatro valores de Y.

Correto. Com efeito, façamos $A(y) = 0:$

$i)\,\,para \,\,y \geq 0:\\\\y^2 - 5y + 6 = 0\\\\\Longleftrightarrow (y-2)(y-3) = 0\\\\\Longleftrightarrow y = 2\,\,\,ou\,\,\,y=3;\\\\i)\,\,para \,\,y < 0:\\\\y^2 + 5y + 6 = 0\\\\\Longleftrightarrow (y+2)(y+3) = 0\\\\\Longleftrightarrow y = -2\,\,\,ou\,\,\,y=-3.$

Assim: $S = \left\{-3, -2, 2, 3\right\}.$

B) A possui apenas um ponto mínimo.

Errado. A possui, na verdade, dois pontos mínimos. Perceba que cada sentença aberta que define A é a expressão de uma parábola com a concavidade voltada para baixo; portanto, cada uma com um ponto mínimo.

Para $y < 0$, se adotarmos $y = -\frac{5}{2}$, teremos $A = -\frac{1}{4}$.

Para $y \geq 0$, se adotarmos $y = \frac{5}{2}$, teremos $A = -\frac{1}{4}$.

Ambos os pontos acima, a saber, $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{1}{4} \right)$ e $\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4} \right)$ são pontos de mínimo de $A.$

C) A se anula somente para dois valores de y.

Errado. Já vimos acima que A se anula para quatro valores de y.

D) A não é função par.

Errado.

Com efeito, para $y > 0$, temos que $-y < 0$. Assim:

$A(y) = y^2 -5y + 6;\\\\A(-y) = (-y)^2 +5(-y) + 6 = y^2 -5y + 6\\\\\Longrightarrow A(y) = A(-y).$

Já para $y < 0$, temos que $-y > 0$. Assim:

$A(y) = y^2 +5y + 6;\\\\A(-y) = (-y)^2 -5(-y) + 6 = y^2 +5y + 6\\\\\Longrightarrow A(y) = A(-y).$

Em resumo, $A(y) = A(-y), \forall \, y \in \mathbb{R}.$ Portanto, A é uma função par.