Question

05. EspCEx – 2013) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um
produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x2 –
12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x2 – 40x – 40.
Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das
vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a :
[A] 4 lotes.
[B] 5 lotes.
[C] 6 lotes.
--[D] 7 lotes.
[E] 8 lotes.

A resposta é [D]
Porém não entendo o motivo de após fazer a conta :
L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = 3x2 – 12x – (5x2 – 40x – 40)
L(x) = 3x2 – 12x – 5x2 + 40x + 40
L(x) = – 2x2 + 28x + 40
Por qual motivo e como, continuo a questão ? PS: preciso de explicação do motivo de usar a tal formula que vem a seguir, e de preferencia quando usar.

Answer 1

Resposta:

Mano, você vai ter que usar derivada. A derivada de uma função te dá uma outra função de como o eixo y está variando em função de x.

A derivada de – 2x² + 28x + 40 é:

-4x + 28.

No ponto máximo, a variação de y em relação a x é nula, ou seja, zero.

-4x + 28 = 0

- 4x = -28

x = -28/-4

x = 7 (resposta).

Obs: poderia ser um ponto de máximo ou de mínimo, mas como a função é de segundo grau e o coeficiente é negativo, o ponto que que a variação é nula só pode ser de máximo (basta ver um gráfico pra entender o que tô dizendo)

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Caso você não saiba limites e derivadas, basta buscar por "máximo e mínimo de função", que daí vc vai ver uma fórmula que também te dá o valor desse tipo de problema

Answer 2

Perceba que a função lucro que você obteve é uma função quadrática, logo o seu gráfico é uma parábola. Dessa forma, existe um vértice da parábola. Como a parábola tem concavidade voltada para baixo, o vértice representa o ponto máximo que a função $L(x)$ pode assumir.

A coordenada em $x$ do vértice é dada pela fórmula:

$x_V=-\frac{b}{2a}$

Substituindo os coeficientes:

$x_V=-\frac{28}{2\cdot(-2)}$

$x_V=-\frac{28}{-4}=7$