Question

05. Defina no conjunto dos inteiros Z a operaçãao * por

a ∗ b := a + b − 5,

então mostre que (Z, ∗) é um grupo abeliano.​

Answer 1

Através dos cálculos realizados podemos afirmar que a estrutura dada é um grupo comutativo ou abeliano.

Um grupo é um a estrutura algébrica que satisfaz três axioma, são eles : a associatividade, existência do elemento neutro e existência do simétrico. Quando um grupo é abeliano, significa que o grupo é comutativo. Temos a estrutura (Z , ∗) e queremos verificar se ela é um Grupo Abeliano, sendo assim vamos verificar a validade dos axiomas.

• Associatividade

$\sf{\exists ~ a,b,c~\in ~\mathbb{Z}, ~tal~que ~(a *b)*c = a*(b*c)}$

$\sf{(a*b)*c = (a + b - 5)*c}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~=(a + b - 5) + c - 5}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~=a + b - 5 + c - 5}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~=a + b + c - 5 - 5}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~=a + (b + c - 5) - 5}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~=a*(b + c - 5)}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~=a*(b*c)}$

Logo a associatividade é valida, passando para o próximo axioma.

• Existência de Elemento Neutro

$\sf{\exists ~ e~\in ~\mathbb{Z}, ~tal~que ~a *e = e * a = a~~~~\forall~a \in\mathbb{Z}}$

$\sf{a * e = a}\\ \\ \sf{a + e - 5 = a}\\ \\ \sf{e = a - a + 5}\\ \\ \sf{e = 5}$

Temos o elemento neutro, portanto existência foi provada.

• Existência do Simétrico

$\sf{\exists ~ x,x^{-1}~\in ~\mathbb{Z}, ~tal~que ~x *x^{-1} = x^{-1} * x = e}$

Onde x⁻¹ é o simétrico de x !!!

$\sf{x * x^{-1} = e}\\ \\ \sf{x + x^{-1} - 5= 5}\\ \\ \sf{x^{-1} = 5 + 5 - x}\\ \\ \sf{x^{-1} = 10 - x}$

Também temos o Simétrico, portanto já podemos denominar a estrutura de Grupo !!! Agora vamos determinar se é comutativo, para podermos aponta-lo como abeliano.

• Comutatividade

$\sf{\exists ~ x,y~\in ~\mathbb{Z}, ~tal~que ~x*y = y*x}$

$\sf{x * y = x + y - 5}\\ \\ \sf{~~~~~~=y + x - 5}\\ \\ \sf{~~~~~~=y*x}$

Logo podemos afirmar que (Z, ∗) é um grupo abeliano!!!!

Mais sobre o assunto em :

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