Question

05) Considere uma função do 2° grau, tal que,
f(1) = -2, f(2) = 5 e f(-3) = -10. Determine a
fórmula matemática dessa função.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

05) Considere uma função do 2° grau, tal que,

f(1) = -2, f(2) = 5 e f(-3) = -10. Determine a

fórmula matemática dessa função.

f(1) = -2, f(2) = 5 e f(-3) = -10

F(x)=ax2+bx+C

a+b+c=-2

4a+2b+c=5

9a-3b+c=-10

_____________

a+b+c= -2 .(-4)= -4a-4b-4c=8

4a+2b+c=5

-4a-4b-4c=8

____________

-2b-3c=13

a+b+c=-2 .(-9)= -9a-9b-9c=18

9a-3b+c=-10

-9a-9b-9c=18

______________

-12b-8c=8

-2b-3c=13 .(-6)

-12b-8c=8

_______________

12b+18c=-78

-12b-8c=8

______________

18c-8c=-78+8

10c= -70

c=-70/10

c=-7

-12b-8c=8

-12b=8+8c

-12b=8+8.(-7)

-12b=8-56

-12b=-48

b=-48/-12

b=4

a+b+c=-2

a=-2-b-b

a=-2-4-(-7)

a=-2-4+7

a=-6+7

a=1

a=1 b=4 e c= -7

Answer 2

Resposta:

$f(x) = a {x}^{2} + bx + c \\ f(1) = - 2 \\ f(1) = a \times {1}^{2} + b \times 1 + c = - 2 \\ f(1) = a + b + c = - 2$

$f(2) = a \times {(2)}^{2} + b \times 2 + c = 5 \\ f(2) = 4a + 2b + c = 5$

$f( - 3) = a \times {( - 3)}^{2} + b \times ( - 3) + c = - 10 \\ f( - 3) = 9a - 3b + c = - 10$

Logo, chegamos a um sistema com três incógnitas.

Faremos por escalonamento:

$a + b + c = - 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \\ 9a - 3b + c = - 10$

Pegue a primeira e a segunda equação e multiplique a primeira por menos quatro, para que possamos cortar uma incógnita, no caso "a".

$- 4a - 4b - 4c = 8 \: \: \: \: \: \: \: \times ( - 4) \\ 4a + 2b + c = 5$

Some as duas equações, o primeiro termo irá sumir.

$- 4a + 4a - 4b + 2b - 4c + c = 13 \\ - 2b - 3c = 13$

Agora faça o mesmo processo com a primeira e a última equação. Só que agora, iremos multiplicar a primeira por menos nove para que o primeiro termo da terceira eq. suma.

$- 9a - 9b - 9c = 18 \: \: \: \: \: \: \: \times ( - 9) \\ 9a - 3b + c = - 10$

Fazendo o mesmo processo da anterior, some as duas:

$- 9a + 9a - 9b - 3b - 9c + c = 8 \\ - 12b - 8c = 8$

Agora temos o seguinte sistema.

$a + b + c = - 2 \\ \: \: \: \: \: - 2b - 3c = 13 \\ \: \: \: \: \: - 12b - 8c = 8$

Para que ele fique escalonado é preciso que a última equação fique com apenas uma incógnita. Para que isso aconteça, iremos multiplicar a segunda equação por 12 e a terceira por menos dois:

$- 24b - 36c = 156 \: \: \: \: \: \: \times (12)$

$24b + 16c = - 16 \: \: \: \: \: \: \: \: \times ( - 2)$

$- 24b - 36c = 156 \\ 24b + 16c = - 16 \\ - 20c = 140$

Agora temos o seguinte sistema:

$a + b + c = - 2 \\ \: \: \: \: \: - 2b - 3c = 13 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 20c = 140$

achando C na última equação, teremos todas as outras incógnitas:

$- 20c = 140 \\ c = \frac{140}{ - 20 } = - 7$

Trocando C na equação:

$- 2b - 3c = 13 \\ - 2b - 3 \times ( - 7) = 13 \\ - 2b + 21 = 13 \\ - 2b = - 8 \\ b = 4$

Sendo que: a+b+c=-2

Logo:

$a + 4 - 7 = - 2 \\ a = 1$

A fórmula da função será dada por:

$f(x) = a {x}^{2} + bx + c \\ f(x) = 1 {x}^{2} + 4x - 7 \\ f(x) = {x}^{2} + 4x - 7$

Uffa! espero ter ajudado.