Question

05) (Condição de alinhamento de três pontos).
Calcule o valor de m de forma que os
pontos A(m, 2), B(4, 1) e C(1, 4), sejam
colineares.

Answer 1

m= 3

Explicação passo-a-passo:

pra que estejam alinhados o valor do determinante formado por esses três pontos deverá ser portanto igual zero

( m 2 1)(m 2)

( 4 1 1)(4 1)

( 1 4 1)(1 4)

D=m +2+16-(1+4m+8)

D=m+18-(4m+9)

D=m-4m+18-9

D=-3m+9

______

-3m+9=0

-3m=-9

m=-9/-3

m= 3

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "m" que torna os referido pontos colineares é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = 3\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os pontos:

          $\Large\begin{cases} A = (m, 2)\\ B = (4, 1)\\ C = (1, 4)\end{cases}$

Para que os pontos "A", "B" e "C" sejam colineares é necessário que o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos seja igual a "0", ou seja:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\det M = 0 \end{gathered}$

Se:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{bmatrix}m & 2 & 1\\ 4 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\end{bmatrix} \end{gathered}$

Então, temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\det M = 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{vmatrix}m & 2 & 1\\ 4 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}m & 2\\ 4 & 1\\ 1 & 4\end{matrix} = 0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} m\cdot1\cdot1 + 2\cdot1\cdot1 + 1\cdot4\cdot4 - 2\cdot4\cdot1 - m\cdot1\cdot4 - 1\cdot1\cdot1 = 0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}m + 2 + 16 - 8 - 4m - 1 = 0 \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m - 4m = -9\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3m = -9\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3m = 9\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = \frac{9}{3} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 3\end{gathered}$

✅ Portanto o valor de "m" é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 3\end{gathered}$

De fato quando m = 3, teremos os seguintes pontos colineares:

             $\Large\begin{cases}A = (3, 2)\\ B = (4, 1)\\ C = (1, 4)\end{cases}$

Se:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}m \ne 3,\:\:\:\forall m\in\mathbb{R}\Longrightarrow Pontos\:n\tilde{a}o\:colineares \end{gathered}$

Observe também que para qualquer "m" teremos pontos "A" da forma:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{m} = (m, 2) \end{gathered}$

E, todos eles, se posicionarão sobre a reta:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: y = 2 \end{gathered}$

Além disso, a única situação que deixará os pontos "A", "B" e "C" colineares, é quando:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 3\end{gathered}$

Nesta situação o ponto "A" será:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{3} = (3, 2)\end{gathered}$

Saiba mais:

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Solução gráfica: