Question

04- Um terreno de área irregular foi preparado para uma plantação com 18 filas e cada fila tem 4 covas a mais que a anterior. A primeira fila tem 8 covas e a segunda fila tem 12 covas e assim por diante até completar o terreno Se num viveiro, foram conseguidas 800 mudas para esta plantação, a) ficarão vagas 140 covas. b) ficarão vagas 64 covas. c) faltarão 44 covas. d) faltarão 120 covas e não sobrarão nem faltarão covas.​

Answer 1

Resposta: a letra correta é a letra c.

Explicação passo a passo:

Vamos tentar usar deduções e progressões aritméticas para resolver o problema. A questão diz que cada fila tem 4 covas a mais que a anterior e que a fila inicial tem 8 covas. Desse modo, pode-se modelar a seguinte equação:

f(x) = 8 + 4.n, onde:

f(x) é o número de covas de uma fila;

n = a - 1, onde a é o número da fileira (1, 2, 3, 4, ... , 18).

Por que n = a - 1? Porque na fileira 1 (a = 1) existe apenas 8 covas, ou seja:

f(x) = 8 + 4.(1-1) = 8 + 4.0 = 8 covas.  

Mas, para simplificar o raciocínio, pode-se substituir (a-1) em n, ficando:

f(a) = 8 + 4(a - 1) = 8 + 4a - 4

f(a) = 4 + 4a

Se quisermos saber o número de covas em qualquer fileira 'a', é só substituir o número da fileira em a. Por exemplo: quantas covas possui a fila 5?

f(4) = 4 + 4.5 = 4+20 = 24 covas

Por que isso é interessante? Precisamos do número total de covas, para avaliar a quantidade em relação às mudas, como pede a questão. O número total será Σ$f(a_{i})$, i = (1, 2, 3,..., 18).

Assim, o número total de covas é:

$(4+4a_{1}) + (4+4a_{2})+(4+4a_{3})+...+(4+4a_{18})$

Colocando o 4 em evidência...

$4(1+a_{1})+4(1+a_{2})+4(1+a_{3})+...+4(1+a_{18}) = \\4[18+(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{18})]$

Pode-se aplicar a relação de Gauss no somatório dos a's.

$S = \frac{(a_{1}+a_{n})n}{2} = \\S = \frac{(1+18)18}{2} = 19.9 = 171.$

Substituindo os valores:

$4(18+171) = 756$

Assim, o total de covas é 756.

Comparando o total de mudas com o total de covas, temos:

800 - 756 = 44

Ou seja, faltarão 44 covas. A letra correta é a letra c.