Question

04. Determine o valor de m na função f(x) = m + 2.sen (2x)
sabendo que sua imagem é o intervalo (5, 9].

Answer 1

Sabemos que uma senoide do tipo $g(x)~=~a.sen(p.x+\theta)$

possui sua imagem no intervalo [-a , a].

Sendo assim, sem o "m", o intervalo imagem de f(x) seria [-2 , 2].

Quando somamos um numero real a senoide, estamos "movendo" todo o gráfico para cima (ou para baixo).

Veja os exemplos no anexo1.

--> Em azul  g(x) = sen(2x)

--> Em vermelho   g(x) = 2 + sen(2x)

--> Em azul   g(x) = -3 + sen(2x)

Observe que, quando somamos (ou subtraímos) números reais, a imagem da função acompanha o movimento do gráfico.

Em g(x) = 2 + sen(2x) o gráfico g(x) move-se 2 unidades para cima e sua imagem anteriormente [-1 , 1] agora passa a ser [-1+2 , 1+2] = [1 , 3].

Seguindo a mesma lógica, podemos determinar "m":

$[-2+m~,~2+m] = [5 , 9]\\\\\\-2+m~=~5\\\\m~=~5+2\\\\\boxed{m~=~7}\\\\\\ou\\\\\\2+m~=~9\\\\m~=~9-2\\\\\boxed{m~=~7}$

No anexo2 temos a função g(x) = 2sen(2x)  (azul) e a função f(x) = 7+2sen(2x)  (vermelho)