Question

04 - Dada a função f de 2º grau, definida por f(x) = x2 – 2x – 3, faça o que se pede. a) Determine as suas raízes (zeros da função). b) Determine as coordenadas (Xy, Yv) do vértice da parábola que representa o gráfico da função f. c) Determine o ponto de interseção entre o gráfico da função f e o eixo y. d) Agora, marque os pontos, que foram determinados nos itens anteriores, no plano cartesiano abaixo e trace o gráfico da função. ​

Answer 1

a) Os zeros da função são encontrados igualando a função a zero e encontrando os valores de x. Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para isso.

$\Delta = (-2)^2 - 4.1.(-3)\\\\\Delta = 4 + 12 = 16\\\\\sqrt{16} = 4\\\\x_1 = \dfrac{-(-2)+4}{2} = \dfrac62 = 3\\\\\\x_2 = \dfrac{-(-2)-4}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$

b) Aplicando as fórmulas de $x_v$ e $y_v$, temos:

$x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-2)}{2.1} = 1\\\\\\y_v = -\dfrac{\Delta}{4a} = - \dfrac{16}{4} = -4$

c) O ponto em que o gráfico toca o eixo y, é o termo independente da função, ou seja, o número que vem sem a variável ao lado na equação.

y = - 3.

d) O gráfico está nas imagens.

Answer 2

Dada a função de 2º grau f(x) = x²-2x-3:

a) raízes (zeros) da função: -1 e 3.

b) Coordenadas(Xv. Yv): Xv = 1 e Yv = -4.

c) Ponto de intersecção do y: (0,-3)

d) Gráfico: anexado nas imagens.

• Resolução letra "a":

Para a obtenção das raízes da equação proposta, basta resolver, conhecendo as propriedades de uma equação de segundo grau.

É importante a compreensão que há dois tipos de equações: completas e as incompletas, que no caso desse exercício, é do tipo completa, por possuir todos os coeficientes.

Sabe-se que para uma função de segundo grau qualquer f(x) = ax²+bx+c.  As raízes da equação podem ser obtidas por meio da conhecida fórmula de Baskhara:

x = (- b ± √b²-4×a×c)/(2×a)

Pode-se inferir que a = 1; b = -2; c = -3

x = (-(-2) ± √(-2)²-4×1×-3)/(2*1)

x = (2 ± √16) / 2

x = 3 e x  = -1.

• Resolução letra "b":

Para a resolução dessa letra, cobra-se o entendimento por parte do aluno sobre o conceito das coordenadas vértice, mais conhecidos por X do vértice e Y do vértice ( Xv e Yv, respectivamente).

Sobre o Xv, podemos dissertar que corresponde a média entre as duas raízes da função, no qual pode ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula:

Xv = -b/2a

Já o Yv corresponde ao vértice que corresponde a coordenada do ponto mínimo ou máximo do eixo y, dependendo do coeficiente "a".

Yv = - (b²-4×a×c) / 4a

Portanto, aplicando a função do exercício, temos que:

Xv = -b/2a = -(-2)/2(1) = 2/2 = 1.

Yv =  - (b²-4×a×c) / 4a = -((-2)²-4×1×-3) / 4(1) = -16/4 = -4.

• Resolução letra "c":

A fim de encontrar o ponto de interseção entre o y, deve-se entender sobre os coeficiente "c" presente em uma equação de segundo grau:

Em uma função genérica de 2º grau composta por f(x) = ax²+bx+c.

Coeficiente "c": também chamado como termo independente da função, no qual não obtêm nenhuma variável dependente a ele.

Portanto, nesse exemplo, c = -3.

Implica dizer que no ponto(0,c), é o ponto de interseção do eixo y.

• Resolução letra "d":

Quando o exercício trata de elaborar o gráfico da função exposta no exercício, devemos ter em mente traçar os principais pontos obtidos ao longo das outras alternativas da questão.

Com isso, para determinar os pontos basta estipular um valor para x e consequentemente, podemos obter o valor f(x), ou seja, y.

Alguns exemplos:

f(-1) = (-1)²-2(-1)-3 = 0

f(1) =  (1)²-2(1)-3 = -4

f(2) =  (2)²-2(2)-3 = -3

Lembrando que pelo coeficiente a>0, a concavidade da parábola é para cima.

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