Question

03. Zé Munheca e João Gastão são dois irmãos que têm hábitos bem diferentes quando se trata de dinheiro. Zé Munheca, sempre muito econômico e atento aos melhores investimentos, consegue duplicar, num prazo de 2 anos, qualquer capital que lhe seja disponibilizado. Já João Gastão, muito esbanjador, não consegue controlar seus gastos, vendo seu dinheiro se reduzir à metade a cada 3 anos.
Ciente disso, seu pai, antes de morrer, não dividiu igualmente sua fortuna entre os dois filhos: reservou a João Gastão uma quantia igual a 1024 vezes a quantia dada a Zé Munheca.
Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os irmãos herdaram de seu pai.
a) Quanto tempo depois de receberem suas partes na herança os dois irmãos terão a mesma quantidade de dinheiro?
b) Quanto tempo depois de receber sua parte na herança, aproximadamente, Zé Munheca terá uma quantia igual a 5 vezes a quantia de João Gastão?
Se necessário, utilize log 2 = 0, 30.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Chamando de x a quantia recebida por Zé Munheca, temos que, ao longo de n anos:

A quantia de Zé Munheca cresce de acordo com a função

$Q_{ZM}=x \;.\;2^{\frac{n}{2}}$

e, a quantia de João Gastão diminui de acordo com a função

$Q_{JG}=1024\;^.\;x\;.\;\frac{1}{2^{\frac{n}{3}}}\\\\Q_{JG}=1024\;^.\;x\;.\;2^{-\frac{n}{3}}\\\\Q_{JG}=2^{10}\;^.\;x\;.\;2^{-\frac{n}{3}}\\\\Q_{JG}=x\;.\;2^{(10-\frac{n}{3})}\\\\Q_{JG}=x\;.\;2^{(\frac{30-n}{3})}$

a)

$Q_{ZM}=Q_{JG}\\\\x\;.\;2^{(\frac{n}{2})}=x\;.\;2^{(\frac{30-n}{3})}\\\\\frac{n}{2}=\frac{30-n}{3}\\\\3n=2(30-n)\\\\3n=60-2n\\\\3n+2n=60\\\\5n=60\\\\n=\frac{60}{5}\\\\n=12\;anos$

b)

$Q_{ZM}=5\;.\;Q_{JG}\\\\x\;.\;2^{(\frac{n}{2})}=5\;.\;x\;.\;2^{(\frac{30-n}{3})}\\\\2^{(\frac{n}{2})}=5\;.\;2^{(\frac{30-n}{3})}\\\\5\;.\;\frac{2^{(\frac{30-n}{3})}}{2^{(\frac{n}{2})}}=1\\\\5\;.\;2^{(\frac{30-n}{3}-\frac{n}{2})}=1\\\\5\;.\;2^{(\frac{60-2n-3n}{6})}=1\\\\5\;.\;2^{(\frac{60-5n}{6})}=1\\\\2^{(\frac{60-5n}{6})}=\frac{1}{5}\\\\2^{(\frac{60-5n}{6})}=\frac{2}{10}$

Aplicando logaritmo na base 10 a ambos os lados da equação:

$log\;2^{(\frac{60-5n}{6})}=log\;\frac{2}{10}\\\\\frac{60-5n}{6}\;.\;log\;2=log\;2-log\;10\\\\\frac{60-5n}{6}\;.\;0,30=0,30-1\\\\\frac{60-5n}{6}\;.\;0,30=-0,70\\\\\frac{60-5n}{6}=-\frac{0,70}{0,30}\\\\\frac{60-5n}{6}=-\frac{7}{3}\\\\3\;.\;(60-5n)=-7\;.\;6\\\\180-15n=-42\\\\15n=180+42\\\\15n=222\\\\n=\frac{222}{15}\\\\n=14,8\;anos \approx 15\;anos$