Question

03- Qual o valor da distancia focal da elipse de equação x² + 4y² = 12 ?


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Answer 1

Temos a seguinte equação elíptica:

$\sf x {}^{2} + 4y {}^{2} = 12$

Essa equação é bem diferente das equações elípticas que conhecemos, pois esta se encontra em sua forma geral. Para encontrar a distância focal teremos que fazer a conversão de geral para reduzida.

• Essa conversão dará-se através da divisão de todos os termos por 12:

$\sf \frac{x {}^{2} }{12} + \frac{4y {}^{2} }{12} = \frac{12}{12} \\ \\ \boxed{ \sf \frac{x {}^{2} }{12} + \frac{y {}^{2} }{3} = 1}$

• O maior valor está abaixo de "x²", portanto essa elipse possui o seu maior eixo sobre o eixo (x) e consequentemente possui essa estrutura de fórmula:

$\ast \: \sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Fazendo a comparação entre as fórmulas:

$\begin{cases}\sf a {}^{2} = 12 \\ \sf a = \sqrt{12} \end{cases} \begin{cases} \sf b {}^{2} = 3 \\ \sf b = \sqrt{3} \end{cases}$

Para encontrar o foco (c), teremos que substituir esses dados no Teorema de Pitágoras.

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf ( \sqrt{12} ) {}^{2} = ( \sqrt{3} ) {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 12 = 3 + c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 12 - 3 \\ \sf c {}^{2} = 9 \\ \sf c = \sqrt{9} \\ \boxed{\sf c = 3}$

A distância focal é duas vezes a medida (c):

$\sf d = 2c \\ \sf d = 2.3 \\ \boxed{\sf d = 6} \leftarrow \sf resposta$

Espero ter ajudado