Question

03. Quais devem ser as medidas dos lados do retângulo abaixo, para que as figuras apresentem áreas iguais?​

Answer 1

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$\Large\red{\boxed{\boxed{\boxed{\sf 18~m~e~32~m}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiro descobre-se a área do quadrilátero à direita.

Esse, nós podemos e devemos dividir em dois triângulos retângulos.

Assim a área dele será:

$\sf A_{total} = A_1 + A_2$

Lembrando que podemos calcular a área de um triângulo pelo produto de sua base e altura, ambos divididos por 2.

Ou seja:

$\Large\boxed{\sf A = \dfrac{b \cdot h}{2}}$

Substituindo para o quadrilátero à direita, teremos:

$\sf A_{total} = A_1 + A_2$

$\sf A_{total} = (\dfrac{b \cdot h}{2})_1 + (\dfrac{b \cdot h}{2})_2$

$\sf A_{total} = (\dfrac{30 \cdot 30}{2}) + (\dfrac{6 \cdot 42}{2})$

$\sf A_{total} = 450 + 126$

$\red{\sf A_{total} = 576~m^2}$

Agora que temos a área do quadrilátero à direita e sabemos que a área do retângulo tem a mesma área, descobriremos o valor do x.

Lembrando que a área de um retângulo pode ser calculado pelo produto entre a sua base e a sua altura.

Matematicamente:

$\Large\boxed{\sf A_{ret} = B \cdot h}$

Substituindo a área, a base e a altura na fórmula teremos:

$\sf 576 = (x + 14) \cdot x$

$\sf (x + 14) \cdot x = 576$

$\sf x^2 + 14x - 576 = 0$

Calculando a equação do segundo grau por soma e produto teremos:

$\sf x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a}$

$\sf x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Substituindo:

$\sf x_1 + x_2 = - \dfrac{14}{1}$

$\sf x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-576}{1}$

_________________________________

$\sf x_1 + x_2 = - 14$

$\sf x_1 \cdot x_2 = - 576$

_________________________________

$\sf -32 + 18 = - 14$

$\sf -32 \cdot 18 = - 576$

Ou seja, as duas raízes são:

$\sf x_1 = - 32$

$\red{\sf x_2 = 18}$

Como estamos falando de geometria, não convém uma raíz negativa, afinal não convém uma unidade de medida negativa. Dessa forma, nossa raíz será:

$\sf x = 18$

Portanto; as medidas dos lados do retângulo deverão ser:

$\Large x = \red{\boxed{\sf 18}}$

e

$\Large x + 14 = 18 + 14 = \red{\boxed{\sf 32}}$

Espero que eu tenha ajudado.

Bons estudos!