Question

03)Numa progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, …), têm-se que a7 - a2 = 20 e a4 + a6 = 40 . O valor da expressão log2(a2 + a6)^4 é igual a
A)24
B)32
C)4
D)8 OBS: Resolvi, mas não tenho gabarito ,peço que a resposta venha acompanhada de resolução. Desde já agradeço.

Answer 1

Olá!

Assumindo que $\sf a_1 = x$, podemos representar qualquer termo da sequência como $\sf a_n = x + (n-1)r$, em que r é a razão da P.A.

Portanto:

$\sf a_2 = x + r$

$\sf a_4 = x + 3r$

$\sf a_6 = x + 5r$

$\sf a_7 = x + 6r$

Dessa forma, temos que:

$\sf a_7 - a_2 = 20 \to x + 6r - (x + r) = 20$

Simplificando essa expressão, temos:

$\sf x + 6r - (x + r) = 20$

$\sf x + 6r - x - r = 20$

$\sf 5r = 20$

$\sf r = \dfrac{20}{5}$

$\fbox{\fbox{ \sf r = 4 }}$

Desenvolvendo a segunda equação da mesma forma (para encontrar x):

$\sf a_4 + a_6 = 40 \to x + 3r + x + 5r = 40$

$\sf x + 3r + x + 5r = 40$

$\sf 2x + 8r = 40$

Como r = 4:

$\sf 2x + 8(4) = 40$

$\sf 2x + 32 = 40$

$\sf 2x = 40 - 32$

$\sf 2x = 8$

$\sf x = \dfrac{8}{2}$

$\fbox{\fbox{ \sf x = 4 }}$

----------------------

Com essas informações, vamos retornar e descobrir o valor de $\sf a_2$ e $\sf a_6$:

$\sf a_2 = x + r$

$\sf a_2 = 4 + 4$

$\fbox{\fbox{ \sf a_2 = 8 }}$

$\sf a_6 = x + 5r$

$\sf a_6 = 4 + 5(4)$

$\sf a_6 = 4 + 20$

$\fbox{\fbox{ \sf a_6 = 24 }}$

Agora, vamos descobrir o logaritmo (utilizando as propriedades do logaritmo):

$\sf \log_2 (a_2 + a_6)^4$

[propriedade da potência - logaritmo]:

$\sf 4 \cdot \log_2 (a_2 + a_6)$

$\sf 4 \cdot \log_2 (8 + 24)$

$\sf 4 \cdot \log_2 (32)$

OBS: $\sf \color{Purple} \log_2 (32) = 5$.

$\sf 4 \cdot 5 = \color{Red} 20$

$\fbox{\fbox{ \sf \therefore \log_2 (a_2 + a_6)^4 = \color{Red} 20 }}$

Portanto,

$\fbox{\fbox{ \sf Alternativa ~ E: \color{Red} ~ 20 }}$

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)