Question

03 - (DANTE, 2011) São dados quatro números x, y, 4, 6, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, determine x e y.

Answer 1

$\large{ \boxed{ \boxed{ \tt \: x = \dfrac{4}{3} \: e \: y = \dfrac{8}{3} }}}$

Vamos observar a sequência fornecida:

$\large{ \tt \: x, y, 4, 6}$

Como os três primeiros valores estão em Progressão Aritmética, então o termo central desses três valores, será a média aritmética dos valores equidistantes. Em outras palavras, temos que:

$\large{ \tt \:x, y, 4 \to P.A. } \\ \\ \large{ \tt \to \: y = \frac{x + 4}{2} } \: \: (1)$

Por outro lado, os três últimos números estão em Progressão Geométrica. Nesse caso, o termo central desses três números será a média geométrica dos dois termos equidistantes. Em outras palavras:

$\large{ \tt \: y, 4, 6 \to \: P.G.} \\ \\ \large{ \tt \to 4 = \sqrt{6 \cdot \: y} } \: \: \: (2)$

Podemos começar resolvendo a equação (2). Para tal, devemos elevar ao quadrado os dois lados:

$\large{ \tt{4}^{2} = ( \sqrt{6 \cdot \: y} {)}^{2} } \\ \\ \large{ \tt 16 = 6 \cdot \: y} \\ \\ \large{\tt \: y = \frac{16}{6}} \\ \\ \large{\tt \: y = \frac{ {16}^{ \blue{ \div 2}} }{ {6}^{ \blue{ \div 2}} }} \\ \\ \large{\tt \: y = \frac{8}{3}}$

Agora, podemos substituir esse resultado na equação (1) e encontrarmos o valor de x:

$\large{\tt \: y = \dfrac{x + 4}{2}} \\ \\ \large{\tt \: \dfrac{8}{3} = \dfrac{x + 4}{2}} \\ \\ \large{ \tt \: 3(x + 4) = 8 \cdot2} \\ \\ \large{ \tt \: 3x + 3 \cdot4 = 16} \\ \\ \large{ \tt \: 3x + 12= 16} \\ \\ \large{ \tt \: 3x= 16 - 12} \\ \\ \large{ \tt \: 3x = 4} \\ \\ \large{ \tt \: x = \frac{4}{3} }$

Temos, então:

$\large{ \tt \begin{cases} \tt \: x = \dfrac{4}{3} \\ \\ \tt \: y = \dfrac{8}{3} \end{cases}}$