Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 11 meses atrás

01. Seja U o conjunto de todos os números inteiros positivos menores do que 200. Se

X2 = {n pertence a U tal que n é múltiplo de 2}, X3 = {n pertence a U tal que n é múltiplo de 3} e

X5 = {n pertence a U tal que n é múltiplo de 5}, então, o número de elementos de X2 U X3 U X5 é

A) 135.

B) 140.

C) 145.

D) 150.

Soluções para a tarefa

Respondido por andre19santos

U é conjunto de todos os números inteiros positivos menores que 200, ou seja, U = {1, 2, ..., 199}. Sendo X2 o subconjunto de U formado pelos múltiplos de 2, temos que X2 = {2, 4, 6, ..., 198}. Da mesma forma, X3 = {3, 6, 9, 12, ..., 198} e X5 = {5, 10, ..., 195}.

Da teoria dos conjuntos, o número de elementos de X2∪X3∪X5 é dado por:

n(X2∪X3∪X5) = n(X2) + n(X3) + n(X5) - n(X2 ∩ X3) - n(X2 ∩ X5) - n(X3 ∩ X5) + n(X2∩X3∩X5)

Ou seja, precisamos encontrar o número de elementos em cada um dos conjuntos e quantos deles se interceptam entre si. Para encontrar n(X2), n(X3) e n(X5) basta dividir o último elemento de cada conjunto por seu múltiplo:

n(X2) = 198/2 = 99

n(X3) = 198/3 = 66

n(X5) = 195/5 = 39

Os números múltiplos de 2 e 3 são aqueles formados por uma P.A de razão 2*3 cujo primeiro termo é o MMC e o último termo é 198, assim, o número de elementos é calculado utilizando a fórmula do termo geral da P.A:

an = a1 + (n-1)r

198 = 6 + (n-1)6

n = 192/6 + 1

n = 33

n(X2∩X3) = 33

Da mesma forma, n(X2∩X5) será uma P.A de razão 10 e último termo 190:

190 = 10 + (n-1)10

n = 180/10 + 1

n = 19

n(X2∩X5) = 19

E para n(X3∩X5), cuja P.A tem razão 15 e último termo 195:

195 = 15 + (n-1)15

n = 180/15 + 1

n = 13

n(X3∩X5) = 13

Para n(X2∩X3∩X5), temos uma P.A de razão 30 e último termo 180:

180 = 30 + (n-1)30

n = 150/30 + 1

n(X2∩X3∩X5) = 6

Substituindo os valores, encontramos:

n(X2∪X3∪X5) = 99 + 66 + 39 - 33 - 19 - 13 + 6

n(X2∪X3∪X5) = 145

Resposta: C

Respondido por bryanavs

Então o número de elementos de X2 U X3 U X5 é: 145 - letra c).

Vamos aos dados/resoluções:

Como estamos querendo todos os números inteiros positivos menores que 200, logo: 0 < N < 200 e dessa forma, para o conjunto do X2 = {2, 4, 6, 8, ... ,198}, Já para o conjunto X3 = {3, 6, 9, 12, ... ,198}, enquanto que o conjunto X5 será {5, 10, 15, 20, ... ,195}.

Calculando as suas interseções (que número comum tanto qualquer grupo dos X2, X3 e X5) e dessa forma:

X2 ∩ X3 = {6, 12, 18, ..., 198} ;

X2 ∩ X5 = {10, 20, 30, ..., 190};

X3 ∩ X5 = {15, 30, 45, ..., 195};

X2 ∩ X3 ∩ X5 = {30, 60, 90, ..., 198};

E para descobrir projetar quantos elementos você terá em cada grupo (tanto pros unitários quanto pras interseções), teremos:

X2 = {2, 4, 6, 8, ... ,198} = 198 - 2 = 196 / 2 = 98 + 1 = 99 ;

X3 = {3, 6, 9, 12, ... ,198} = 198 - 3 = 195 / 3 = 65 + 1 = 66;

X5 = {5, 10, 15, 20, ... ,195} = 190 / 5 = 38 + 1 = 39;

X2 ∩ X3 = {6, 12, 18, ..., 198} = 198 - 6 = 192 / 6 = 32 + 1 = 33 ;

X2 ∩ X5 = {10, 20, 30, ..., 190} = 190 - 10 = 180 / 10 = 18 + 1 = 19 ;

X3 ∩ X5 = {15, 30, 45, ..., 195} = 195 - 15 = 180 / 15 = 12 + 1 = 13 ;