Question

01- Sabendo que cada sequência é uma P.A., determine o valor de X, a razão e o 20° termo de: (X+3; X²; 6X+1)

02- A soma de três números que compõem uma P.A. é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é a P.A.?​

Answer 1

Resposta:

a) x= 4; razão= 9; a20= 178

b)A P.A. é (20, 24, 28)

Explicação passo-a-passo:

a) Primeiramente, sabemos que o termo de uma P.A. é igual ao seu antecessor somado à razão e igual ao sucessor subtraído da razão. Com isso, monte um sistema com as informações que você tem:

$\left \{ {{x + 3 + r=x²} \atop {x² + r=6x + 1}} \right.$

Por substituição, encontramos que:

r = $\frac{5x -2}{2}[/tex}</p><p>Substituindo r na primeira equação, encontramos que:</p><p>x + 3 + [tex]\frac{5x -2}{2}$ = x²

Fazendo isso, encontramos esta equação do segundo grau:

2x² - 7x -4 = 0

Resolvendo, encontramos que x= 4 e x'= $\frac{-1}{2}$. Por tentativa e erro, descobrimos que a solução plausível para P.A. é x= 4

Sendo assim, temos que a P.A. é dada por (7, 16, 25), fazendo 16 - 7 ou 25 - 16, encontramos que a razão da P.A. é 9.

Por fim, o 20º termo da Progressão é dado pela fórmula an = a1 + (n - 1).r

Portanto, substituindo, encontramos:

a20 = 7 + (20 - 1).9

a20 = 178

b) De início, tome nota que o termo de uma P.A., que nesse caso é (x, y, z), é a média do seu antecessor e sucessor, portanto, podemos escrever que:

$\left \{ {{x + y + z=72} \atop {x + z=2y}} \right.$

Resolvendo o sistema, encontramos que y = 24

Substituindo o y na segunda equação encontramos que x + z = 48, e também foi afirmado no enunciado que x.z = 560, caindo, então, no seguinte sistema:

$\left \{ {{x + z=48} \atop {x.z=560}} \right.$

Por substituição, encontraremos a seguinte equação do segundo grau: x² - 48x + 560= 0. Resolvendo, encontramos que x= 20 e x'= 28. Temos que x é menor do que y, logo a solução x'= 28 não é válida.

Sendo assim, ao subtraírmos x de y, encontramos que a razão da P.A. é 4. Logo, a P.A. procurada é (20, 24, 28)

Espero ter ajudado <3