Question

01. As medidas marcadas na figura estão em centímetros. Responda: Se BM, MA, BC e CD, nesta ordem, são segmentos de reta proporcionais e AB = 10,5 cm a que distância de A está o ponto M?

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que $\boxed{\bf\overline{AM} = 7,5cm}$.

Explicação:

O objetivo é determinamos a medida do segmento $\overline{AM}$.

• Semelhança de triângulos:

Primeiro vamos traçar um segmento que ligue os pontos C e M, fazendo com que um novo triângulo seja formado.

• Semelhança Ângulo - Ângulo (AA): neste tipo de semelhança, dois ou mais triângulos compartilham de ângulos iguais.

Observando na imagem anexada, podemos notar várias semelhanças, mas apenas duas delas serão necessárias para os cálculos, sendo elas:

$\: \: \: \: \: \: \: \begin{cases}1) \: \Delta ABD \sim \Delta CDE \\ 2) \: \Delta ABD \sim\Delta BCM\end{cases}$

• 1) Os triângulos $\bf \Delta ABD$ e $\bf \Delta CDE$ compartilham do mesmo ângulo em $\bf\hat{D}$. Assim como os ângulos $\bf D\hat{C}E$ e $\bf A\hat{B}D$ são iguais.

• 2) Os triângulos $\bf \Delta ABD$ e $\bf\Delta BCM$ compartilham do mesmo ângulo em $\bf \hat{B}$. Assim como os ângulos $\bf B\hat{C}M$ e $\bf A\hat{D}B$ são iguais.

• Proporcionalidade $\bf \Delta ABD \sim\Delta CDE$:

Quando um triângulo é semelhante ao outro, quer dizer que eles possuem os lados proporcionais. Sendo geralmente caracterizado como "Um lado está para o outro, assim como..".

• Como na foi dito $\underline{\Delta ABD \sim\Delta CDE }$, então temos que:

$\bf\overline{AD}$ está para $\bf\overline{DE}$, assim como $\bf\overline{BD}$ está para $\bf\overline{CD}$. Matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: \frac{\overline{AD}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}$

Com esta relação encontraremos a medida de x, pois assim saberemos os valores numéricos dos lados dos triângulos envolvidos neste cálculo.

$\frac{7}{5} = \frac{3x - 2 + x}{3x - 2} \: \to \: \frac{7}{5} = \frac{4x - 2}{3x - 2} \\ \\ \begin{cases}7.(3x - 2) = 5.(4 x- 2) \\ \\ 21x - 14 = 20x - 10 \\ \\ 21x - 20x = 14 - 10 \\ \\ x = 4cm \end{cases}$

Concluímos então que $\bf \overline{BC} = 4cm$ e $\bf \overline{CD} = 10cm$.

• Proporcionalidade $\bf\Delta ABD \sim\Delta BCM$:

Do mesmo jeito do cálculo anterior, vamos montar uma relação de proporcionalidade para estes triângulos.

• $\bf \overline{AB}$ está para $\bf \overline{BM}$, assim como $\bf \overline{BD}$ está para $\bf \overline{BC}$. Matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \frac{\overline{AB}} {\overline{BM}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}$

Agora vamos substituir os dados nos respectivos locais, lembrando que o segmento $\overline{BM}$ é desconhecido. Logo:

$\frac{10,5}{\overline{BM}} = \frac{14}{4} \: \to \: (10,5).4 = 14 \overline{BM} \\ \\ 14.\overline{BM} = 42 \: \to \: \: \overline{BM} = \frac{42}{14} \\ \\ \boxed{\overline{BM} = 3cm}$

Com esta informação podemos finalmente encontrar o valor da distância de A para M, isto é, o segmento $\overline{AM}$.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \overline{AB} =\overline{AM} +\overline{BM} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 10,5 = \overline{AM} + 3 \: \: \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \overline{AM} = 10,5 - 3 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\overline{AM} = 7,5cm}$

Espero ter ajudado

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