Question

0 6° termo do desenvolvimento de um binômio é 56 x3 y5. Qual é o 4° termo desse binômio?

Answer 1

O 4º termo desse binômio será 56x5y3. Letra d).

A fórmula do termo geral de um desenvolvimento binomial de um binômio definido por $(a + b)^n$ será:

$T_{p + 1} = \binom{n}{p} a^{(n - p)}b^p$

,onde p + 1 é o número do termo desejado, n a ordem do binômio e $\binom{n}{p}$ a combinação de n termos tomados p a p.

A combinação de n termos tomados p a p é:

$\binom{n}{p} = C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

Para o 6ºtermo temos:

p + 1 = 6

p = 6 - 1 = 5

As nossas variáveis serão:

a = x

b = y

E, por fim, também desse 6º termo fornecido podemos deduzir a sua ordem comparando a fórmula do termo geral com ele:

$\binom{n}{p} a^{(n - p)}b^p = 56x^3y^5$

Olhando para os expoentes podemos inferir:

n - p = 3

p = 5

Logo:

n - 5 = 3

n = 3 + 5 = 8

Portanto, nosso binômio tem a forma:

$(x + y)^8$

Agora, utilizando a mesma fórmula do termo geral, vamos calcular o 4º termo. O valor de p será:

p + 1 = 4

p = 4 - 1 = 3

Logo, o 4º termo é:

$T_4 = \binom{8}{3}x^{(8 - 3)}y^3 = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} x^5y^3\\T_4 = \frac{8*7*6*5!}{3!5!} x^5y^3 = \frac{8*7*6}{3!} x^5y^3\\\\T_4 = \frac{8*7*6}{3*2*1} x^5y^3 = 56x^5y^3$

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