(0.5 pontos) Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de
$10 para o material. Se o materia para a base a base custa $0, 15 por centimetro quadrado
e o material dos lados custa $0, 30 por centimetro quadrado, ache as dimensões da caixa
de maior volume que pode ser feita.
Soluções para a tarefa
O enunciado do problema não restringe as dimensões como somente valores inteiros.
Medida da largura da base: x
Medida do comprimento da base: y
Medida da altura da caixa: z
Volume da caixa:
V = x . y . z = 16
Soma das áreas das faces:
A = 2 . x . y + 2 . y . z + 2 . x . z
Como o menor preço é o da lateral, então deseja-se maximizar a área lateral (XZ e YZ), e ao mesmo tempo minimizar as áreas da base (XY) e da tampa (XY).
Função preço:
f(x,y,z) = 0,10 . (2.x.y) + 0,05 . (2.x.z) + 0,05 . (2.y.z)
f(x,y,z) = 0,2.x.y + 0,1.x.z + 0,1.y.z
Com uma troca de variáveis simples, é possível mudar a função de preço com 3 variáveis para uma função de 2 variáveis, pois x.y.z = 16, e portanto x.z = 16/y, e de forma análoga, y.z = 16/x
f(x,y,z) = 0,2.x.y + 0,1.x.z + 0,1.y.z
f(x,y) = 0,2.x.y + 0,1.(16/y) + 0,1.(16/x)
f(x,y) = 0,2.x.y + 1,6/y + 1,6/x
Para encontrar o valor mínimo desta função, precisamos recorrer a um artifício matemático visto no curso superior nas disciplinas de Cálculo 2, chamado de Derivadas Parciais de primeira ordem, que devem ser igualadas a zero para se encontrar o valor mínimo da função f(x,y):
df(x,y)/dx = 0
0,2.y - 1,6/x² = 0
y - 8/x² = 0
y = 8/x²
df(x,y)/dy = 0
0,2.x - 1,6/y² = 0
x - 8/y² = 0
x = 8/y²
substituindo a segunda equação na primeira:
y = 8/x²
y = 8/(8/y²)²
y = 8/(64/y⁴)
y = y⁴/8
8 = y³
y = 2
portanto,
x = 8/y²
x = 8/2²
x = 8/4
x = 2
Logo
x = 2, y = 2, que substituindo na equação x.y.z = 16, encontramos que z = 4.
Para estes valores, o preço mínimo da caixa vale:
f(x,y,z) = 0,2.x.y + 0,1.x.z + 0,1.y.z
f(2,2,4) = 0,2.2.2 + 0,1.2.4 + 0,1.2.4
f(2,2,4) = 0,8 + 0,8 + 0,8 = 2,40
Resposta: x = 2 ; y = 2 ; z = 4.