Question

(0,4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(−3) = −13 e f(3) = 5. Classifique
em crescente ou decrescente.

Answer 1

A função afim tal que f(– 3) = – 13 e f(3) = 5 é igual a f(x) = 3x – 4, sendo uma função crescente.

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Desejamos determinar a lei de formação de uma função afim f(x) = ax + b, tendo que – 13 é a imagem de – 3, e que 5 é a imagem de 3, isto é, sabendo que f(– 3) = – 13 e que f(3) = 5. Com base nessas informações podemos fazer substituições na lei f(x) = ax + b com a finalidade de encontrar duas equações:

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Se f(– 3) = – 13, então x = – 3 e f(x) = – 13:

⇒ f(x) = ax + b

⇒ – 13 = a ⋅ (– 3) + b

⇒ – 3a + b = – 13 ( ɪ )

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Se f(3) = 5, então x = 3 e f(x) = 5:

⇒ f(x) = ax + b

⇒ 5 = a ⋅ 3 + b

⇒ 3a + b = 5 ( ɪɪ )

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Montando agora um sistema de duas equações:

                                     $\Large\quad\begin{array}{l}\begin{cases}\tt-\,3a+b=-\,13~~\mathnormal{(\,I\,)}\\~~~~\,\tt3a+b=5~~~~~~\mathnormal{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}$

Veja que podemos usar o método da adição, pois consiste em somar as equações membro a membro a fim de eliminar uma incógnita para descobrir outra. Isso só é possível se as incógnitas a serem eliminadas tiverem os coeficientes opostos, como é o caso aqui já que o coeficiente ‘‘a’’ numa equação é oposto do coeficiente ‘‘a’’ da outra equação, então:

$\\\large\begin{array}{l}~~+~\!\begin{cases}\tt-\,3a+b=-\,13\\~~~~\tt3a+b=5\end{cases}\\\:\textsf{\: ------------------------------}\\~\begin{array}{l}\tt\iff~~0+2b=-\,8\\\\\tt\iff~~2b=-\,8\\\\\tt\iff~~b=-\,\dfrac{8}{2}\\\\\iff~~\!\boldsymbol{\boxed{\tt b=-\,4}}\end{array}\end{array}$

Assim podemos substituir o valor de ‘‘b’’ em qualquer uma das equações iniciais para encontrar o valor de ‘‘a’’, vou fazer na equação ( ɪɪ ):

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \tt3a+b=5\\\\\tt\iff~~~3a+(-\,4)=5\\\\\tt\iff~~~3a-4=5\\\\\tt\iff~~~3a=5+4\\\\\tt\iff~~~3a=9\\\\\tt\iff~~~a=\dfrac{9}{3}\\\\\iff~~~\!\boxed{\tt a=3}\end{array}$

Com os valores definido de ‘‘a’’ e de ‘‘b’’ em mãos podemos escrever a função afim desejada:

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \tt f(x)=ax+b\\\\\tt\iff~~~f(x)=3\cdot x+(-\,4)\\\\\iff~~~\!\boxed{\tt f(x)=3x-4}\end{array}$

Agora com a função encontrada queremos determinar sua classificação. Ora, temos que os  coeficientes duma função afim f(x) = ax + b são a = coeficiente angular, e b = coeficiente linear. Assim, sabemos que:

• Se o coeficiente angular for positivo, a função cresce, isto é, quando a > 0 o gráfico será crescente;
• Se o coeficiente angular for nulo, a função é invariável, isto é, quando a = 0 o gráfico será constante (nesse caso a função terá apenas o coeficiente linear b);
• Se o coeficiente angular for negativo, a função decresce, isto é, quando a < 0 o gráfico será decrescente.

No caso da função encontrada, f(x) = 3x – 4, temos que a = 3, ∴ a > 0. Assim, essa função é crescente.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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