Question

0~2 (x3 +3x-1)dx qual a resposta

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos calcular a seguinte integral definida:

$\displaystyle{\int_0^2 x^3+3x-1\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int x^3\,dx+3\cdot\int x\,dx-\int 1\,dx~\biggr|_0^2}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$ e $1=x^0$.

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+3\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}-x~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2^4}{4}+\dfrac{3\cdot2^2}{2}-2-\left(\dfrac{0^4}{4}+\dfrac{3\cdot0^2}{2}-0\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{16}{4}+\dfrac{3\cdot4}{2}-2-\left(\dfrac{0}{4}+\dfrac{3\cdot0}{2}-0\right)\\\\\\ 4+6-2\\\\\\ 8~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral.