Question

(0,0,0 ) é uma solução de sistema
×+y+z=0
2×-3y+5z
4x+7y-3z=0

Answer 1

Boa tarde.

vc substitui esse valor nas equaçoes para ver se é solução do sistema.

(0, 0, 0)

x + y + z = 0  -----> 0 + 0 + 0 = 0 -----> 0 = 0 < --- verdadeira.

2x - 3y + 5z = 0 ----> 2.0 - 3.0 + 5.0 = 0 ---> 0 = 0 < -- verdadeira

4x + 7y - 3z = 0 ---> 4.0 + 7.0 - 3.0 = 0 --> 0 = 0 < -- verdadeiro

Diante disso, o ponto (0, 0, 0) é uma das soluções do sistema

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Gabrielli, que a resolução é mais ou menos simples.
Tem-se o seguinte sistema:

×+y+z = 0             . (I)
2x - 3y + 5z = 0    . (II)
4x+7y- 3 z = 0      . (III)

E pede-se para informar se o terno ordenado (0; 0; 0) é solução desse sistema.

Antes de responder, veja estes rápidos prolegômenos:

i) O sistema da sua questão é um sistema homogêneo. E ele é homogêneo porque todas as suas três equações são iguais a zero. Note que a equação (I), a equação (II) e a equação (III) são TODAS iguais a zero. Por isso o sistema da sua questão é um sistema homogêneo.

ii) Quando um sistema é homogêneo,então ele SEMPRE será possível e determinado (SPD) ou será possível e indeterminado (SPI), pois temos certeza de que pelo menos a solução trivial é uma solução desse sistema. E a solução trivial será dada quando x = 0; y = 0 e z = 0, ou seja, suas três incógnitas seriam iguais a zero. Daí o terno (0; 0; 0) ser uma das soluções do sistema da sua questão.

iii) E, para saber se a solução do terno (0; 0; 0) é única e assim, teríamos o sistema possível e determinado (SPD), basta calcular o valor do determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas: se ele for diferente de zero, então a solução (0; 0; 0) será única. Se, no entanto, o determinante formado pelos coeficiente das incógnitas for igual a zero, então já sabemos que o sistema será possível e indeterminado (SPI). Ou seja, o sistema teria, além da solução trivial (0; 0; 0), outras soluções diferentes.

iv) Tendo, portanto, esses rápidos prolegômenos aí em cima como parâmetro, então vamos formar a matriz dos coeficientes das incógnitas e vamos ver se o seu determinante (d) é diferente de zero ou é igual a zero.
Então teremos, já colocando a matriz em ponto de desenvolver pelo método de Sarrus:

|1......1.....1|1.....1|
|2...-3...5|2...-3| ------ calculando o seu determinante (d), teremos:
|4...7...-3|4....7|

d = 1*(-3)*(-3)+1*5*4+1*2*7 - [4*(-3)*1+7*5*1+(-3)*2*1]
d = 9 + 20 + 14 - [-12 + 35 - 6]
d = 43 - [17] ----- retirando-se os colchetes,ficaremos com:
d = 43 - 17
d = 26 <--- Este é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. Como o seu valor é DIFERENTE de zero, então é porque a solução trivial é única. Ou seja, os valores de "x", de "y" e de "z" são (todos) iguais a zero. Em outras palavras, teremos que:

x = 0; y = 0 e z = 0 <--- Esta é a resposta.

Nesse caso, como vimos antes lá nos prolegômenos, o solução trivial (0; 0; 0) é única, em razão do que o sistema da sua questão é possível e determinado (SPD).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.