Question

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Answer 1

Vamos lá, essa é legal. Queremos que ambos atinjam o corpo no mesmo instante. A bola 1 cai verticalmente, então temos a seguinte equação para a trajetória:

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2$

Como foi largado de uma altura de 80m e com velocidade 0, vai atingir o chão a uma distância de 80m podemos reescrever:

$h=0+\frac{1}{2}gt^2$
$h=\frac{1}{2}gt^2 \quad (1)$

Vamos guardar essa resposta por enquanto. Agora vamos pensar na bolinha 2.
A força peso pode ser decomposta em dois eixos, um correspondendo a normal do plano inclinado, e outro ortogonal a esse, paralelo com L. Então vamos chamar de eixo N (de normal) e L (já que está com a direção de L).
Nesse sistema podemos decompor a força peso da seguinte forma:
$P_L=P\sin\theta$
$ma=mg\sin\theta$
$a=g\sin\theta \quad (2)$

Agora nós temos nossa aceleração. Mas não temos o ângulo, então é melhor retirarmos ele. Fazendo da rampa um triângulo retângulo, nós retiramos a seguinte relação:
$\sin\theta= \frac{h}{L}$
Pois o seno é o cateto oposto divido pela hipotenusa. Substituindo esse resultado na equação 2 temos:
$a=g \frac{h}{L} \quad (3)$
Como é um movimento acelerado, a equação da posição é:
$x=x_0+v_0t+ \frac{1}{2} at^2$
Como no nosso caso, a bolinha vai deslizar em cima comprimento L, ele é a diferença entre a posição final e inicial logo $x-x_0=L$, então:
$x-x_0=v_0t+ \frac{1}{2} at^2$
$L=v_0t+ \frac{1}{2} at^2$

Usando a equação 3 que achamos pra aceleração e substituindo:
$L=v_0t+ \frac{1}{2} g \frac{h}{L}t^2\quad(4)$

Para eliminar o tempo, vamos pegar a equação 1, afinal ambas bolas devem atingir o chão ao mesmo tempo:

$h=\frac{1}{2}gt^2$
$\sqrt{ \frac{2h}{g}} =t$

Substituindo na equação 4:
$L=v_0(\sqrt{ \frac{2h}{g}})+ \frac{1}{2} g \frac{h}{L}\ \frac{2h}{g}}$
$L=v_0(\sqrt{ \frac{2h}{g}})+ \frac{h^2}{L}$
$L^2=Lv_0(\sqrt{ \frac{2h}{g}})+ h^2}$
$L^2-Lv_0(\sqrt{ \frac{2h}{g}})- h^2}=0$

Usando a bháskara:
$L=[v_0 \sqrt{ \frac{2h}{g} } \pm \sqrt{(\sqrt{ \frac{2h}{g}})^2+4h^2} ] \frac{1}{2}$
Colocando valores:
$L=[30 \sqrt{ \frac{2.80}{10} } \pm \sqrt{(\sqrt{ \frac{2.80}{10}})^2+4(80)^2} ] \frac{1}{2}$
Isso nos dá dois valores, mas apenas um positivo: 160m.