Question

Z é a raiz da equação x^2 + 2x + 21 = 0, e o afixo de Z está no segundo quadrante. Determine a parte real de Z^3.
OBS: São números complexos.

Answer 1

$\text x^2+2\text x+21=0 \\\\ \text x^2+2\text x +1 + 20 = 0 \\\\ \text x^2+2\text x+1 = -20 \\\\ (\text x+1)^2 = 20 \\\\ \text x +1 = \pm\sqrt{-20} \\\\\\ \text x = -1 +2\sqrt{5}.\text i \ \ ; \ \ \text x = -1 -2\sqrt{5}.\text i$

Se Z está no 2º quadrante, então temos que :

$\text Z = -1+2\sqrt{5}.\text i$

Elevando ao cubo :

$\text Z ^3 = (-1+2\sqrt{5}.\text i)^3 \\\\ \text Z^3 = (-1)^3+3(-1)^2.(2\sqrt{5}.\text i)+3(-1).(2\sqrt{5}.\text i)^2 + (2\sqrt{5}.\text i)^3 \\\\ \text Z^3 = -1 + 6\sqrt{5}.\text i + 60 - 40\sqrt{5}.\text i \\\\ \text Z^3 = 59 \ - \ 34\sqrt{5}.\text i$

Portanto a parte real de Z³ é :

$\huge\boxed{\text{Re(Z}^3) = 59 \ }\checkmark$