Question

z=√2(cos 5∏/4 + i sen 5∏/4), então z^7 é igual ao produto de 8√2 por​

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, conclui-se que  $z^7$  é igual ao produto de  $8\sqrt{2}$  por  $\frac{\sqrt{2}\:i-\sqrt{2}}{2}$.

Vamos entender o porquê?

Neste exercício, vamos usar a unidade imaginária ( $i$ ).
Ao trabalhar com esta unidade, há que ter em atenção o seu significado:

$\boxed{i=\sqrt{-1}}\qquad \text{pelo que}\qquad \boxed{i^2=-1}$

Vamos usar, também, algumas noções de Trigonometria, pelo que deixo em anexo uma figura com uma Circunferência Trigonométrica e uma figura com o sinal das funções Seno, Cosseno e Tangente.

Segundo o enunciado temos que:

$z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right]$

Com base nisto, queremos determinar  $x$  de tal forma que:

$z^7=8\sqrt{2}\times x$

Comecemos por simplificar a expressão dada para  $z$:

    $z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{4\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=\sqrt{2}\left[-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=-\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2}-i\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=-\dfrac{2}{2}-i\dfrac{2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=-1-i$

Podemos, agora, usar esta expressão mais simples para determinar a nossa incógnita:

    $z^7=8\sqrt{2}\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow(-1-i)^7=8\sqrt{2}\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow8i-8=8\sqrt{2}\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow i-1=\sqrt{2}\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{i-1}{\sqrt{2}}=x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{(i-1)\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}\:i-\sqrt{2}}{2}$

Assim, conclui-se que  $z^7$  é igual ao produto de  $8\sqrt{2}$  por  $\frac{\sqrt{2}\:i-\sqrt{2}}{2}$.

    Cálculos Auxiliares    

Como expandir o polinómio  $(-1-i)^7$:

1. Usando os Casos Notáveis da Multiplicação:
      $(-1-i)^7=$
   $=(-1-i)^2\times(-1-i)^2\times(-1-i)^2\times(-1-i)=$
   $=[(-1)^2-2(-1)i+i^2]\times[(-1)^2-2(-1)i+i^2]\times[(-1)^2-2(-1)i+i^2]\times(-1-i)=$
   $=(1+2i-1)\times(1+2i-1)\times(1+2i-1)\times(-1-i)=$
   $=2i\times2i\times2i\times(-1-i)=$
   $=4i^2\times(-2i-2i^2)=$
   $=-4\times(-2i+2)=$
   $=8i-8$
   
2. Usando o Binómio de Newton:
      $(-1-i)^7=$
   $=\displaystyle\sum_{p\;=\;0}^7\;\left[^nC_p\;(-1)^{n-p}\;(-i)^p\right]=$
   $=\left[^7C_0(-1)^7(-i)^0\right]+\left[^7C_1(-1)^6(-i)^1\right]+...+\left[^7C_6(-1)^1(-i)^6\right]+\left[^7C_7(-1)^0(-i)^7\right]=$
   $=[1\times(-1)\times1]+[7\times1(-i)]+...+[7\times(-1)\times(-1)]+[1\times1\times i]=$
   $=-1-7i+21+35i-35-21i+7+i=$
   $=-8+8i$
   
   Nota: Tive de omitir alguns termos para que a expressão coubesse na resposta.

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