Question

z = 1- i, sendo assim, calcule raiz cubica de z

Answer 1

1) vamos escrever o número z na sua forma trigonométrica:

a) cálculo do módulo de z:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

b) Calculo do argumento de z:

$sen \theta=\frac{b}{|z|}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\ \\ cos \theta=\frac{a}{|z|}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\ \\ logo \ \theta=\frac{\pi}{4} \ rad$

c) escrevendo z na forma trigonométrica:

$z=\sqrt2\left(cos(\frac{\pi}{2})+i.sen(\frac{\pi}{2})\right)$

2) Calculando a raiz cúbica de z pela segunda fórmula de De Moivre:

$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{\sqrt2}\left(cos(\frac{\frac{\pi}{2}}{3})+isen(\frac{\frac{\pi}{2}}{3})\right)\\ \\ \sqrt[3]{z} = \sqrt[6]{2} \left(cos(\frac{\pi}{6})+isen(\frac{\pi}{6})\right)\\ \\ \sqrt[3]{z} = \sqrt[6]{2}\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{ \sqrt[6]{2} \sqrt{3} }{2}+\frac{ \sqrt[6]{2} }{2}i$