Question

(YAGLOM-DESAFIO) Quantas vezes os ponteiros das horas e dos minutos são perpendiculares em um dia de funcionamento??
a) 44
b) 46
c)48
d)23
e)24

Answer 1

É uma questão bastante interessante. Acredito que a maneira mais interessante de resolver esse tipo de questão, é analisar a angulação que os ponteiros percorrem a cada minuto. Temos que em 1 hora de funcionamento o ponteiro dos minutos realiza 60 movimentos e esses correspondem a 1 volta completa e que portanto, determinam um arco de 360º, então veja que se os 60 movimentos dos ponteiros dos minutos equivalem a 360º, um movimento obviamente equivale a $\frac{360}{60} =6$º , agora analisando o ponteiro das horas, temos que a cada hora esse "pula" de um número ao outro. Sabendo que um relógio de ponteiro possui 12 números e a cada hora percorrida o ponteiro das horas avança um número, temos que a cada hora percorrida o ponteiro das horas determina um arco de $\frac{360}{12} = 30$º, agora usando o raciocínio análogo ao dá angulação do ponteiro dos minutos temos que o ponteiro das horas percorre $\frac{30}{60} = 0,5$º por minuto (e na realidade é bem fácil ver que isso é verdade). Agora considerando o ponteiro das horas e dos minutos no 12 (que será o inicio da contagem), veja que ao passar 1 minuto o ponteiro dos minutos irá percorrer 6º e o das horas 0,5º , portanto esses formarão um arco $6 - 0,5 = 5,5$º entre si. Bem, a questão quer saber quantas vezes o ponteiro das horas e dos minutos são perpendiculares entre si, veja que se sabemos que em um minuto os ponteiros formam um arco de 5,5º, precisamos saber em quantos minutos os mesmos formam um ângulo de 90º, basta então realizar a multiplicação do arco formado, pelo número x de minutos, e igualarmos a 90º, veja:

$5,5*x = 90$ ⇒ $x =\frac{90}{5,5} = 16,36...$

Sabemos que a cada 16,36... minutos os ponteiros formam um arco de +90º. Veja então que se a cada hora temos 60 minutos, e um dia tem 24h, temos que o mesmo possui 14400 minutos. Veja que esse tempo divido pelo tempo em que os ponteiros formam um ângulo de +90º é igual a:

$\frac{14400}{16,36...} = 88$

Veja então que no inicio da contagem apos 16,36... minutos os ponteiros formaram 2 arcos, um de 90º e consequentemente um de 270º, já que a circunferência tem 360º, consequentemente depois de + 16,36... minutos eles formarão 2 arcos de 180º e apos + 16,36... minutos, novamente um arco de 270º e um de 90º, e novamente apos 16,36... minutos um de 360º e um de 0º, perceba que a perpendicularidade dos ponteiros segue um padrão, já que a cada 4 vezes que se passa o intervalo de 16,36... minutos em 2 deles os mesmos serão perpendiculares entre si. Veja então que se em 1 dia ocorrem 88 vezes o intervalo de 16,36... minutos em metade deles os ponteiros serão perpendiculares, logo o número de vezes em que eles são perpendiculares entre si é de:

$88*\frac{1}{2} = 44$ vezes.

Que no caso é a letra A

Espero ter ajudado