Question

Y'=y.tagx+senx qual e a resposta dessa equação diferencial?

Answer 1

Resolver a equação diferencial:

     $\mathsf{y'=y\cdot tg\,x+sen\,x}\\\\ \mathsf{y'-tg\,x\cdot y=sen\,x}$


Esta é uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, linear e não-homogênea. Já está escrita na forma

     $\mathsf{y'+p(x)\cdot y=q(x)}$

onde  $\mathsf{p(x)=tg\,x}$  e  $\mathsf{q(x)=sen\,x.}$


Fator integrante:

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}}\\\\ \mathsf{\mu(x)=e^{\int (-tg\,x)\,dx}}\\\\ \mathsf{\mu(x)=e^{\int (-\,\frac{sen\,x}{cos\,x})\,dx}}\\\\ \mathsf{\mu(x)=e^{\int \frac{1}{cos\,x}\,\cdot\,(-sen\,x)\,dx}}\\\\ \mathsf{\mu(x)=e^{\ell n(cos\,x)}}\\\\ \mathsf{\mu(x)=cos\,x} \end{array}$


Então, vamos multiplicar os dois lados da equação por $\mathsf{\mu(x)=cos\,x:}$

     $\mathsf{(y'-tg\,x\cdot y)\cdot cos\,x=sen\,x\cdot cos\,x}\\\\ \mathsf{y'\cdot cos\,x-tg\,x\cdot cos\,x\cdot y=sen\,x\cdot cos\,x}\\\\ \mathsf{y'\cdot cos\,x-\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\cdot cos\,x\cdot y=sen\,x\cdot cos\,x}\\\\\\ \mathsf{y'\cdot cos\,x-sen\,x\cdot y=sen\,x\cdot cos\,x}\\\\ \mathsf{y'\cdot cos\,x+y\cdot (-sen\,x)=sen\,x\cdot cos\,x}\\\\ \mathsf{y'\cdot cos\,x+y\cdot (cos\,x)'=sen\,x\cdot cos\,x}$


O lado esquerdo é a derivada de um produto:

     $\mathsf{(y\cdot cos\,x)'=sen\,x\cdot cos\,x}$


Tomando as primitivas de ambos os lados, ficamos com

     $\mathsf{y\cdot cos\,x=\displaystyle\int sen\,x\cdot cos\,x\,dx}\\\\\\ \mathsf{y\cdot cos\,x=\displaystyle -\int cos\,x\cdot (-sen\,x)\,dx}\\\\\\ \mathsf{y\cdot cos\,x=-\,\dfrac{1}{2}\,cos^2\,x+C}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-\,\frac{1}{2}\,cos^2\,x+C}{cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-\,\frac{1}{2}\,cos^2\,x}{cos\,x}+\dfrac{C}{cos\,x}}$

     $\mathsf{y=-\,\dfrac{1}{2}\,cos\,x+C\,sec\,x\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$

onde C é uma constante.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)