Question

y=y= log de x na base 4?

Answer 1

 Vamos lá. 

Tem-se o seguinte sistema: 

{logx + logy = 4 . (I) 
..2........4 
e 
{xy = 8 -----> x = 8/y . (II) 

Vamos trabalhar com a igualdade (I), que é: 

logx + logy = 4 ----- veja que o "4" da base pode ser reescrito como 2². Assim: 
..2........4 

logx + logy = 4 
...2.......2² 

Agora veja que existe uma propriedade logarítmica segundo a qual: 

LOGA = (1/n)*logA 
...b^n..................b 

Assim, utilizando essa propriedade, a nossa expressão ficará sendo: 

logx + (1/2)*logy = 4 ---- agora observe que m.loga = loga^m. Assim: 
...2................2 

logx + logy¹/² = 4 --- agora veja que loga+logb = loga*b. Assim: 
...2.........2 

logx*y¹/² = 4 ----- veja: o que temos aí é a mesma coisa que: 
...2 

x*y¹/² = 2^4 

x*y¹/² = 16 . (III) 

Mas, conforme (II), temos que x = 8/y. Então vamos substituir, na igualdade (III) acima, o valor de "x' por "8/y". Assim: 

(8/y)*y¹/² = 16 

(8*y¹/²)/y = 16 

Veja: temos aí uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então: 

8*y^(¹/²-¹) = 16 ---- veja que 1/2 - 1 = -1/2. Assim: 

8*y^(-¹/²) = 16 

y-¹/² = 16/8 

y-¹/² = 2 ----- veja que y-¹/² = 1/y¹/². Assim: 

1/y¹/² = 2 ---- multiplicando em cruz, temos: 

1 = 2*y¹/², ou , invertendo: 

2y¹/² = 1 

y¹/² = 1/2 ---- vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Assim: 

(y¹/²)² = (1/2)² 

y^(²*¹/²) = 1/4 

y²/² = 1/4 

y¹ = 1/4 

y = 1/4 <--- Esse é o valor de "y". 

Agora, para encontrar o valor de "x", vamos lá na igualdade (II), que é esta: 

x = 8/y ---- substituindo "y" por "1/4", temos: 

x = 8/(1/4) 

x = (8/1)*(4/1) 

x = 8*4/1*1 

x = 32/1 

x = 32 <--- Esse é o valor de "x". 

Assim, resumindo, temos que: 

x = 32; e y = 1/4 <--- Pronto. Essa é a resposta. 

Em função disso, o conjunto-solução (x; y) será: 

S = {32; 1/4}.