Question

y" + y' - 2y = sen(x)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação característica:

$r^2+r-2=0$

$r=1$ ou $r=-2$

Solução complementar:

$y_c=c_1e^{-2x}+c_2e^x$

A solução particular é da forma

$y_p=Acos\:x+Bsen\:x$

Derive:

$y_p'=-Asen\:x+Bcos\:x$

$y_p''=-Acos\:x-Bsen\:x$

Substitua na EDO:

$(-Acos\:x-Bsen\:x)+(-Asen\:x+Bcos\:x)-2(Acos\:x+Bsen\:x)=sen\:x$

$-Acos\:x-Bsen\:x-Asen\:x+Bcos\:x-2Acos\:x-2Bsen\:x)=sen\:x$

$(B-3A)cos\:x+(-A-3B)sen\:x=sen\:x$

$\left\{\begin{matrix}B-3A=0\\-A-3B=1\end{matrix}\right$

Resolvendo, $A=-\frac{1}{10}$ e $B=-\frac{3}{10}$

Solução:

$y=c_1e^{-2x}+c_2e^x-\frac{cos\:x}{10}-\frac{3sen\:x}{10}$