Question

y'= x^2/y( 1+ x^2) Resolva a seguinte EDOs separável

Answer 1

• Tema:

Equações diferenciais com condições iniciais (variáveis separáveis)

• Introdução:

O que são equações diferenciais com variáveis separáveis: Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma: y´ = F (x, y) é chamada de Variáveis Separáveis se for possível fatorar F (x, y) na forma: F (x, y) = f (x) g (y).

• Problema:

y'= x^2/y( 1+ x^2) Resolva a seguinte EDO separável

Solução:

Reemplazamos dy/dx con y':

$\qquad \qquad \large \dfrac{dy}{dx} =\dfrac{x^2}{y(1+x^2)}$

Aparentemente podemos separar a variável "y" e colocá-la com seu respectivo diferencial e colocar o diferencial de "x" na outra parte:

$\qquad \qquad \large ydy =\dfrac{x^2}{(1+x^2)}dx$

• Obtemos o fator da integral em ambas as partes da equação diferencial:

$\qquad \qquad \large \int ydy =\int \dfrac{x^2}{(1+x^2)}dx$

$\qquad \qquad \large \int \dfrac{y^{1+1}}{1+1} dy =\underbrace{\int -\dfrac{1}{(1+x^2)}dx}_{-\arctan(x)}+\int 1 dx$

Agora vamos colocar uma constante para resolver as integrais, quero escolher "k" como constante, principalmente é "C", mas não afetará nada:

$\qquad \qquad \large \dfrac{y^{2}}{2} = -\arctan(x)+x +k$

Vamos deixar o "y" sozinho para que a equação diferencial pareça bonita ha ha ha:

$\qquad \qquad \large y^2 = 2(-\arctan(x)+x +k)$

$\qquad \qquad \large y^2 = -2\arctan(x)+2x +2k$

$\qquad \qquad \large y =-\sqrt{ -2\arctan(x)+2x +2k}$

Resposta de um amigo (skoy):

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Outro exercicio

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