Question

y=x^2-8x+7 esboce o gráfico

Answer 1

Para construir o gráfico de uma função quadrática, basta determinar o ponto de máximo ou mínimo da função (vértice da parábola), um ponto à esquerda do máximo ou mínimo e um ponto à direita do máximo ou mínimo.

Perceba que quando x = 0, f(x) = 7, então o ponto (0,7) pertence ao gráfico.

Para determinar o x do vértice da parábola, aplicamos a fórmula:

Xv = $\frac{-b}{2a}$ 

Para f(x) = x² - 8x + 7, temos que a = 1, b = -8, c = 7 (lembrando que a função quadrática possui a forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0).

Então:

Xv = $\frac{-(-8)}{2.(1)}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Para determinar o y do vértice, também aplicamos a fórmula:

Yv = - Δ / 4a

Mas Δ = b² - 4ac = (-8)² - 4.(1).(7) = 64 - 28 = 36, então:

Yv = - (36) / 4.(1) = -36/4 = -9

Como Xv = 4 e Yv = - 9, o vértice da parábola é o ponto (4, -9).

Como a > 0 (já que a = 1), temos que a parábola apresentará concavidade voltada para cima. Sendo assim, os valores de Y descem do infinito, até que chegam ao vértice da parábola, e daí crescem de novo de volta ao infinito.

Agora devemos encontrar um ponto à esquerda e um ponto à direita do vértice, então, tomando o X do vértice como referência (Xv = 4), vamos ver qual é o valor que f(x) adquire quando x =1:

f(1) = (1)² - 8.(1) + 7 = 1 - 8 + 7 = 0

Sendo assim, o ponto (1,0) pertence ao gráfico.

Agora vamos determinar um ponto à direita. Vamos determinar o valor que f(x) adquire quando x = 5.

f(5) = (5)² - 8.(5) + 7 = 25 - 40 + 7 = -8

Com essas informações, já podemos construir o gráfico. 
Como Δ > 0, você também poderia obter um ponto à esquerda do vértice e um ponto à direita do vértice ao obter as raízes de f(x).

f(x) = 0
x² - 8x + 7 = 0

Δ = 36

x = 8 ± 6 / 2

x' = 7
x'' = 1

Portanto, os pontos (1, 0) e (7,0) pertencem ao gráfico. (1,0) está à esquerda do X do vértice e (7,0) à direita. 

O gráfico, juntamente com uma tabela com as informações calculadas em destaque, se encontra a seguir: