x⁴-x² - 6 = 0 equação biquadrada
Soluções para a tarefa
x⁴ - x² - 6 = 0
Para
fazer uma equação desse tipo, substitua o termo x² por uma outra variável
qualquer, faremos nesse caso:
x² = y
Então
nossa equação fica da seguinte maneira:
y² - y
- 6 = 0
pois x⁴ => x² . x² => y . y => y²
Agora você tem uma equação de 2° grau, poderá encontrar as raízes de diversas
formas, como pela fórmula de Bhaskara. Aqui, usarei um método mais simples, a
Fatoração:
y² - y - 6 = 0
Procure dois números que multiplicados resultem em -6 e que subtraídos resultem
em -1: São os números: 2 e -3
(y - 3)(y + 2) = 0
y - 3 = 0 --> y' = 3
y + 2 = 0 --> y'' = -2
S = {-2 ; 3}
Bom, agora voltamos ao início, se lembre que:
x² = y
Então substitua os valores que encontrou para y nessa expressão:
Para y = -2:
x² = -2 => x = ± √(-2)
=> não existe dentro dos reais, S = { }
Mas dentro dos complexos temos raízes:
Sendo: √(-1)
= i;
x = ± √(-1 . 2) => x = ± √(-1)
. √2 => x = ± i . √2 => x = ±
(√2)i
S = { - (√2)i
; (√2)i }
Para y = 3:
x² = y => x² = 3 => x = ± √3
S = { - √3
; √3 }
Ou seja, temos as seguintes soluções:
S
= { - √3 ; √3 ; √2i ; - √2i }
Resposta:
{-√2, √2}
Explicação passo-a-passo:
Se x4 + x2 - 6 = 0, considerando x2 = y, teremos y4 + y2 - 6 = 0, então
∆ = 12 – 4.1.(-6) = 25 → y = (- 1 ± √25)/2.1 → y = (-1 ± 5)/2 →
y' = 2 ou y'' = - 3.
Como x2 = y, então x = ± √y .
Portanto x = ±√2 ou x = ±√-3 (não convém)