Question

x⁴- 8x² + 15=0 RAÍZES DA EQUAÇÃO

Answer 1

Raízes da equação são os valores quer fazem a equação ser igual a zero.

Então, para encontrá-los, iguale a equação a zero.... geralmente é só isso.

Mas como a equação tem grau alto (4), para não recorrer a fórmulas complicadas podemos simplificar o processo reduzindo esse grau através de fatoração para chegarmos a graus mais simples, como o 2, por exemplo.

Fatorar é transformar uma equação em fatores, ou seja, termos que se multiplicam. (Fatores são os nomes dos termos de uma multiplicação.)  Daí poderemos trabalhar com cada termo isoladamente.

Para começar essa fatoração tentemos decompor os termos em partes menores para ver se encontramos alguma propriedade que permita resumi-los através de multiplicação, como por exemplo, colocar fator comum em evidência, ou os produtos notáveis. Lembra-se deles?  Quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma, cubo da diferença...

Olha o quadrado da soma aí:  (a+b)² = a² +2ab+c²

Lembrou? Ok. Vamos fatorar a equação.

$x^{4} -8x^{2}+15 =0$  

Decomponha -8x² em -3x² e -5x²

$x^{4}-3x^{2}-5x^{2}+15=0$

Decomponha também x^4 em x² * x² e 15 em 3 * 5

$x^{2}*x^{2}-3x^{2}-5x^{2}+3*5=0$

Perceba relações entre os termos e organize-os em grupos

$(x^{2}*x^{2}-3x^{2})+(-5x^{2}+3*5)=0$

Coloque em evidência os termos comuns de cada grupo

$x^{2}(x^{2}-3)+5(-x^{2}+3)=0$

Torne os termos do 2° parêntesis iguais aos do primeiro, colocando o sinal de menos para fora do parêntesis e alterando os termos de forma que o resultado permaneça o mesmo (troque os sinais de todos que estão neste parêntesis)

$x^{2}(x^{2}-3)-5(x^{2}-3)=0$

Coloque o fator comum (x² -3) em evidência

$(x^{2}-3)(x^{2}-5)=0$

Pronto! Fatoramos a equação!

Agora, lembremos que numa multiplicação de a*b = 0, ou a é igual a zero, ou b é igual a zero... Portanto,

$(x^{2}-3)(x^{2}-5)=0$

$(x^{2}-3) = 0$   ou    $(x^{2}-5)=0$

Daí,

$x^{2}-3=0\\x^{2}=3\\\sqrt{x^{2}}=\pm\sqrt{3} \\x=\pm\sqrt{3}$

ou

$x^{2}-5=0\\x^{2}=5\\\sqrt{x^{2}}=\pm\sqrt{5} \\x=\pm\sqrt{5}$

Solução:

$S=\{-\sqrt5,-\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{5}\}$

Segue gráfico abaixo.