Question

X⁴-8x²-15=0
Equação biquadrada, gostaria de ver o passo a passo

Answer 1

$x = + \sqrt{4 + \sqrt{31} } \\ x = - \sqrt{4 + \sqrt{31} }$

explicaçao:

claro. posso lhe explicar.

LEMBRE: que se temos: ${x}^{2} . {x}^{2}$podemos juntar numa base so e somar os expoente ne? ${x}^{2 + 2} = {x}^{4}$

pois podemos fazer o inverso tambem. temos $\red{ \bold{ {x}^{4}}}$podemos fazer ele ficar: ${x}^{2} . {x}^{2}$se temos ${x}^{2}$ se repetindoduas vezes podemos escrever como potencia:$({x}^{2} )^{2}$

........

$X⁴-8x²-15=0$

entao:

$( {x}^{2} )^{2} - 8 {x}^{2} - 15 = 0$

vamos usar um artificio pra fazer a questao senao fica empacado ai. no lugar do

${x}^{2}$

vamos estar colocando outra letra. vamos dizee que

${x}^{2} = y$

( x ao quadrado equivale, é igual ao y). agora sim.

veja:

${x}^{4} - 8 {x}^{2} - 15 = 0$

⇩

${ ({x}^{2} )}^{2} - 8 {x}^{2} - 15 = 0$

⇩

$( \red{ \bold{{y}}})^{2} - 8 . \red{ \bold{y}} - 15 = 0$

⇩

${y}^{2} - 8 {x}^{2} - 15 = 0$

uma simples equacao do segundo grau. utilize bhaskara ou soma e produto pra resolver.

bhaskara:

coeficientes :

coeficiente a: numero na frente da letra ao quadrado

coeficiente b : numero na frente da letra sem expoente

coeficiente c : numero sem letra

COEFICIENTES: a = 1, b = - 8 , c = - 15

entao:

$Δ = {b}^{2} - 4.a.c$

$Δ = {( - 8)}^{2} - 4.1.( - 15)$

resolve a potencia separada. e resolve as multiplicacoes separado tmb.

$Δ = 64 + 60$

$Δ = 124$

agora na formula:

$y = \frac{ - b + - \sqrt{Δ }}{2.a}$

$y = \frac{ - ( - 8) + - \sqrt{124} }{2.1}$

fatore aquele 124 dentro da raiz e faz aquela propriedade de jogar pra fora os numeros que tem potencia 2.

$y = \frac{8 \: + - \: \: 2 \sqrt{31} }{2}$

agora vamos pegar um y com o + e o outro com o - .

$y = \frac{8 \red{ \bold{ + }}2 \sqrt{31} }{2}$

coloca 2 em evidencia:

$y = \frac{2.(4 + \sqrt{31} )}{2}$

corta o 2 de cima com o 2 de baixo. *isso pode fazer porque agora tem multiplicaçao na parte de cima.

$\bold{ \green{y = 4 + \sqrt{31} }}$

agora o outro.

$y = \frac{8 \red{ \bold{ - }}2 \sqrt{31} }{2}$

coloca fator 2 em evidencia.

$y = \frac{2.(4 - \sqrt{31} )}{2}$

corta estes 2.

$\bold{ \green{y = 4 - \sqrt{31} }}$

porem essas nao sao nossas respostas do exercicios. achamos os valores para y. POREM, a equaçao original tinha x ne? entao lembre da relaçao que fizemos antes.

${x}^{2} = y$

substituia os dois valores de y achados nessa relaçao.

${x}^{2} = \green {\bold{4 + \sqrt{31} }}$

*passa pra la como +- raiz quadrada*

$\bold{ \red{ \large{x = + - \sqrt{4 + \sqrt{31} } }}}$

agora o outro.

${x}^{2} = y$

${x}^{2} = \green{ \bold{4 - \sqrt{31} }}$

$\large{ \red{ \bold{x = + - \sqrt{4 - \sqrt{31} } }}}$

estes que tem - dentro da raiz vamos descartar. isso porque se voce resolver raiz de 31 da uns 5,56. e aquele 4 - 5,6 vai dar um numero negativo. raiz QUADRADAde numero negativo nao existe ne.

percebe que temos 2 respostas apenas neste caso . geralmente sao 4 quando sao numeros mais exatos, isso ocorre porque o grau do polinomio ( da equaçao la do enunciado, tem um expoente 4)

.

$x = + \sqrt{4 + \sqrt{31} } \\ x = - \sqrt{4 + \sqrt{31} }$

as respostas um pouco complicadas. elas nao tem como simplificar mais. ja que raiz de 31 é inexata.