Question

x² – 5x + 6 = 0 resolva a equação de segundo grau utilizando a formula de Baskhara e faça-me entender a resolução.

Answer 1

Equação do 2º grau na variável $x$ é toda equação que pode ser escrita na forma

$ax^2+bx+c=0$

sendo $a,\,b,\,c$ números reais (constantes), e $a\ne 0.$


Os números $a,\,b,\,c$ também podem ser chamados de coeficientes da equação do 2º grau.

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E agora, como encontrar a solução para esta equação?

$ax^2+bx+c=0$

A intenção nessa parte da resposta é mostrar de onde vem a tal fórmula de Bháskara (ou Báscara em português mesmo). Assim, não é algo que fica apenas sendo decorado, ok?

• Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar os dois lados por $4a.$ Observe o que acontece com a equação:

$4a\cdot (ax^2+bx+c)=0\\\\ 4a\cdot ax^2+4a\cdot bx+4a\cdot c=0\\\\ 4a^2x^2+4abx+4ac=0~~~~~~(\text{mas } 4=2^2)\\\\ (2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b+4ac=0\\\\ (2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b=-4ac~~~~~~\mathbf{(i)}$

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• Lembra-se dos produtos notáveis? Veja que o lado esquerdo da equação $\mathbf{(i)}$ é "quase" um quadrado perfeito (o quadrado da soma de dois termos):

$(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$


Para $p=2ax$ e $q=b,$ temos que

$(2ax+b)^2=(2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b+b^2~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Note que "só falta" o $b^2$ para que o lado esquerdo da equação $\mathbf{(i)}$ se torne um quadrado perfeito.

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Então, vamos somar $b^2$ aos dois lados da equação $\mathbf{(i)}:$

$(2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b+b^2=b^2-4ac\\\\ (2ax+b)^2=b^2-4ac~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Está quase pronto. Observe a equação $\mathbf{(iii)}$ acima. O lado esquerdo é o quadrado de um número real (que não pode ser negativo). Então, a equação só terá solução se

$b^2-4ac\ge 0$


Tirando as raízes quadradas dos dois lados de $\mathbf{(iii)},$ ficamos com

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}\\\\ 2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}~~~~~~(\text{e como }a\ne 0)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{array}}$


Geralmente, chamamos de $\Delta$ a expressão que está dentro da raiz quadrada (discriminante da equação do 2º grau):

$\Delta=b^2-4ac$


de forma que as soluções da equação são

$\boxed{\begin{array}{c}x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \end{array}}$

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• Resolvendo a equação dada no enunciado:

$x^2-5x+6=0$


Comparando com a forma geral da equação do 2º grau

$ax^2+bx+c=0$

tiramos que

$\left\{ \!\begin{array}{l} a=1\\b=-5\\c=6 \end{array} \right.$


Calculando o discriminante $\Delta:$

$\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6\\\\ \Delta=25-24\\\\ \Delta=1\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ x=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}\\\\\\ x=\dfrac{5\pm 1}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{5-1}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{5+1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x=\dfrac{4}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{6}{2}\\\\\\ x=2&~\text{ ou }~&x=3 \end{array}$


Então as soluções da equação dada no enunciado são

$\boxed{\begin{array}{rcl} x'=2&~\text{ e }~&x''=3 \end{array}}$


e foram encontradas usando a fórmula de Báscara.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)