Question

x²-4x+(5-m)=0
Determine m de modo que a equaçao admita duas raizes reais de sinais contrarios

Answer 1

O valor de m deverá ser m > 5.

Primeiramente, vamos determinar as raízes da equação do segundo grau x² - 4x + (5 - m) = 0. Para isso, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-4)² - 4.1.(5 - m)

Δ = 16 - 4.5 + 4m

Δ = 16 - 20 + 4m

Δ = 4m - 4

Δ = 4(m -1).

$x=\frac{4+-\sqrt{4(m-1)}}{2}$

$x=\frac{4+-2\sqrt{m-1}}{2}$

x = 2 ± √(m - 1).

Ou seja, as duas raízes são 2 + √(m - 1) e 2 - √(m - 1).

Queremos que as duas raízes tenham sinais contrários.

Isso significa que o produto entre elas é negativo, ou seja, é menor que zero.

Sendo assim, temos a seguinte inequação:

(2 + √(m - 1))(2 - √(m + 1)) < 0

4 - 2√(m - 1) + 2√(m - 1) - (m - 1) < 0

4 - (m - 1) < 0

4 - m + 1 < 0

-m + 5 < 0

-m < -5

m > 5.

Portanto, quando m > 5, a equação do segundo grau terá duas raízes reais com sinais contrários.